第2章 轴对称图形（单元测试·培优卷）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份第2章 轴对称图形（单元测试·培优卷）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．学校为庆祝国庆，在校内张贴了“爱我中华”四字标语，这些汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（ ）
A．30° B．60° C．50° D．40°
3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
4．．如图，在中，点P在边BC上方，连接PB，PC，，当取得最小值时，的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：将一张四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A恰巧落在BC上，已知∠C＝90°，AB＝6dm，BC＝9dm，CD＝4dm，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24dm2 B．30dm2 C．36dm2 D．42dm²
7．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在等腰三角形ABC中，，过点A作的高AD．若，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10
9．如图，等边△ABC中，D是边BC上不与两端点重合的点，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，连接ED，FD，则下列选项中不一定正确的是（ ）
A．EA=ED B．∠EDF=60° C．DF⊥AC D．∠2=2∠1
10．在△ABC中，CD平分∠BCA，与AB交于点D．若BD＝3，AD＝4，∠A＝30°，△ABC中BC边上的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BDAC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为 ．
12．如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为 ．
13．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN= ．
14．如图，在中，点为边上一动点（不与点重合），连接，以直线为对称轴，作的对称图形，以直线为对称轴，作的对称图形，连接．
（1）若，则 ；
（2）若，，的面积为14，则面积的最小值为 ．
15．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝ ．（用α含的式子表示）

16．如图，在中，，M、N为边AB、BC上的两个动点，将沿MN翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD，，且，则当是等腰三角形时， 度．

17．如图1，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点落在点处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图2方式折叠，边交于点．若是等腰三角形，则的度数可能是 ．
18．如图，，在直线上方作等腰，，，连接，当最大时， ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河上的某一位置P，再马上赶到河上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程最短．

20．（8分）如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．
（1）说明△ACE≌△MCF的理由；
（2）说明△CNB为等边三角形的理由．
21．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP=NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
22．（10分）如图，为等边三角形，点D在线段BA的延长线上，以DC为边在BC的上方作等边（点E与点B在DC的两侧）．
（1）求证：；
（2）点F与点E关于直线DC对称，连接，试探究与有怎样的数量关系？并证明你探究的结论．
23．（10分）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：
①△BDF≌△ADC；
②FG＋DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
24．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为
∵
∴
【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______．
【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗？请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、“爱”不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、“我”不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、“中”是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、“华”不是轴对称图形，故该选项不符合题意．
故选：C
【点拨】本题考查了轴对称图形，解本题的关键在熟练掌握轴对称图形的定义．
2．D
【分析】由折叠的性质得到∠ADB＝∠EDB，解得∠ADF的度数，再根据两直线平行内错角相等解答．
【详解】由折叠的性质得∠ADB＝∠EDB，
∴∠ADF＝2∠ADB，
∵∠ADB＝20°，
∴∠ADF＝2×20°＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠ADF＝40°，
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．B
【分析】先根据题意画出辅助线，再根据三角形的面积和最短路径得出与三角形的高之间的关系，进而得出的度数．
【详解】解：过点作，作点关于的对称点，连接，
∴，
∴的最小值为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，即
故选．
【点睛】本题考查了最短路径，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，根据题意画出辅助线是解题的关键．
5．D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
6．B
【分析】由折叠的性质得到BE=BA=6，∠ABD=∠EBD，利用角平分线的性质以及三角形公式即可求解．
【详解】解：根据题意，将一张四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A恰巧落在BC上的E处，连接DE，过点D作DF⊥BA并交BA的延长线于点F，如图：
∴BE=BA=6，∠ABD=∠EBD，
∵∠C=90°，DF⊥BA，
∴DF=DC=4，
∴四边形ABCD的面积=BCCD+ABDF=94+64=30(dm2) ．
故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
7．C
【分析】连接AP，根据线段垂直垂直平分线的性质可知PA=PC，．由，即得出，由此可知当A、P、D在同一直线上时，最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为的平分线，即．最后根据三角形外角性质即得出，由此即可判断．
【详解】如图，连接AP，
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，
∴PA=PC，．
∵,
∴．
由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时，最小，即为的长，
∴此时最小．
∵D是边BC的中点，AB=AC，
∴AD为的平分线，
∴．
∵，即，
∴．
故选C．
【点拨】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A、P、D在同一直线上时最小是解题关键．
8．D
【分析】分等腰三角形顶角是钝角和锐角两种情况讨论即可.
【详解】解：情况1：如图：
∵，
∴，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15º，
底角与顶角的度数比为：15º:150º=1:10；
情况2：如图：
∵，CA=CB，
∴∠B=∠CAB=，
底角与顶角的度数比为：75º:30º=5:2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5:2或1:10，
故选：D.
【点拨】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用.分情况讨论是解答此题的关键.
9．C
【分析】由线段垂直平分线的性质得出EA=ED，FA=FD，选项A正确；
由等边三角形的性质得出∠BAC=∠B=60°，由等腰三角形的性质得出∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，得出∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，选项B正确；
由三角形的外角性质得出∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，再由∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED，得出∠2=2∠1，选项D正确；即可得出结论．
【详解】解：∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED，FA=FD，选项A正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，
∵EA=ED，FA=FD，
∴∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，
∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，选项B正确；
∵∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED
∴60°+∠2=60°+2∠1，
∴∠2=2∠1，选项D正确；
已知条件不能推出DF与AC是否垂直
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角性质；熟记等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
10．D
【分析】过点作垂足为，过点作于，过点作于点，证明，得到，根据等面积求得，设，由，得出，根据等面积法求得的长，即可求解．
【详解】如图，过点作垂足为，过点作于，过点作于点，
∵CD平分∠BCA，
∴，
在与中
∴
∴
∵
∴
设
∵
∴
∴
又
∴
故选D
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．130°/130度
【分析】先利用轴对称的性质得到∠ABC＝∠A'BC＝30°，∠ACB＝∠A'CB，再利用平行的性质得到∠CBD＝∠ACB，等量代换得到∠CBD＝∠A'CB，利用三角形内角和定理求出∠A'CB，最后利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
【详解】解：∵△ABC沿BC翻折得到△A'BC，
∴∠ABC＝∠A'BC＝30°，∠ACB＝∠A'CB，
∵ BDAC，
∴∠CBD＝∠ACB，
∴∠CBD＝∠A'CB，
∵∠BDC＝140°，
∴∠A'CB＝，
∴∠ACB＝20°，
∴∠A＝．
故答案为：130°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的性质等，利用轴对称的性质得出∠ABC＝∠A'BC，∠ACB＝∠A'CB是解题的关键．
12．
【分析】根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，
∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，
∵∠ABC＝32°，
∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，
∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，
故答案为：118°．
【点拨】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．
13．32°
【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．
【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）＝106°−74°＝32°．
故答案为32°．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．
14．/90度 4
【分析】（1）先由平行线的性质得到，再由轴对称的性质得到，最后根据三角形内角和计算即可；
（2）先由轴对称的性质得到，进而求出，再由30度角的性质得到，求出，最后根据垂线段最短作答即可．
【详解】（1）．
，
由题意知，
，
，
故答案为．
（2）过点E作，交FA的延长线于点G，
由轴对称的性质得，．
，
，
，
，
∵，
，
易知当时，AD最短，此时，
，
故答案为4．
【点拨】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，三角形内角和，30度角的性质，垂线段，熟练掌握各知识点是解题的关键．
15．180°﹣α．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，
在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．40
【分析】连接BD，根据折叠的性质可得，得 ，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三种情况讨论可得结果．
【详解】解：连接BD，如图，
由折叠可得，MB=MD，BN=DN，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵是等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①当NC=DC时，
又
∴
整理得，
故此种情况不存在；
②当DN=DC时，
∴
解得，
∴；
∵∠AMD＞20°，
∴此种情况须舍去；
③当DN=NC时，
∵
∴
解得，
∴
综上，的度数为
故答案为：
【点拨】此题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，灵活掌握分类讨论思想是解答此题的关键．
17．＃＃
【分析】由翻折可得AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，所以∠BDB′=4∠A，所以∠ADF=180°-4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，若∠ADF是等腰三角形，有三种情况：①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，②当AD=DF时，∠AFD=∠A，③当DF=AF时，∠ADF=∠A，然后分别列式计算即可解决问题．
【详解】由翻折可知：，，
，
，
，
，
，
，，
若是等腰三角形，有三种情况：
①当时，，
，
解得；
②当时，，
，
（不符合题意舍去）；
③当时，，
，
解得．
综上所述：的度数可能是或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
18．
【分析】构造等腰，如图1，使，，则，，当、、三点共线时，最大，然后根据已知角及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图1，构造等腰，使，，
则，，
∴当、、共线时，最大，
此时，如图2所示，
，，则，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：45°．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线，找出当最大时的图形．
19．见解析
【分析】将通过轴对称转化为几条“直线段”的和即可．
【详解】解：如图：
作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，
连接交于P、交于Q，则M→P→Q→N为最短路线．
【点拨】此题考查了轴对称最短路径问题，正确理解最短路径即利用轴对称的性质将几条线段的和化为“直线段”的和的过程是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由△ACM和△CEF是等边三角形，得CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，再利用SAS即可证出△ACE≌△MCF；
（2）由△ACE≌△MCF，得∠CAE=∠CMF，由∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，可得∠ACN=∠MCB，再利用ASA证出△ACN≌△MCB，得到CN=CB，再由∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，即可证明△CNB是等边三角形．
【详解】（1）证明：△ACM和△CEF是等边三角形，
∴CA=CM，CE=CF，
∠ACM=∠ECF=60°，
在△ACE和△MCF中，
，
∴△ACE≌△MCF（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△MCF（SAS），
∴∠CAE=∠CMF，
∵∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN与△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（ASA），
∴CN=CB，
∵∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，
∴△CNB是等边三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)见详解；
(2)0.5a．
【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
【详解】（1）如下图所示，过点M作MQCN，
∵为等边三角形，MQCN，
∴，
则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，

∴，
则MP=NP；
（2）∵为等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得，，
则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明，再利用全等三角形的对应边相等即可证得结论；
（2）利用对称性质得到，，进而得到，证明得到即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：；
证明：∵点F与点E关于直线对称，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
即．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、对称性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，会利用全等三角形的性质探究线段的数量关系是解答的关键．
23．(1)①见解析；②见解析
(2)FG＝DC+AD
【分析】（1）①可以证明为等腰直角三角形，得到AD＝BD，再利用ASA判定三角形全等即可；
②由上一小问中三角形全等可知DF＝DC，再去证明FA＝FG，则FG+DC＝FA+DF＝AD；
（2）易知△ABD、△AGF为等腰直角三角形，BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，再证明△BDF≌△ADC，得到DF＝DC，则得到FG＝DC+AD．
【详解】（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，
∵∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°
又∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠DAC，
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，
∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵FDB≌△CDA，
∴DF＝DC；
∵GFBC，
∴∠AGF＝∠ABC＝45°，
∴∠AGF＝∠BAD，
∴FA＝FG，
∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
理由：∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，
∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，
∴∠DFB＝∠DCA，
又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
【点拨】本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意熟练掌握．
24．新知应用：；
尝试探究：见解析
拓展应用：平分；见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）延长到点，使得，连接，证明得到，，从而得出平分；
（3）连接，延长到，使，连接，由，得到，，，再证明得到，从而得出平分．
【详解】新知应用：
∵，
∴，
若，则；
若，则，
∴；
故答案是；
尝试探究：
证明：如图，延长到点，使得，连接，
∵，
又∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
拓展应用：
证明：连接，延长到，使，连接，
∵，，
∴
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即平分；
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．