人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数小结与复习 学案

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锐角三角函数小结与复习班级： 姓名： 组号： 一、知识梳理（一）锐角三角函数的定义1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝6，则sinA＝___________，tanB＝___________2．如图1，在Rt△ABC中，a，b为两直角边，且a∶b＝5∶12，则cosA＝______，tanB＝_____ 3．如图2，△ABC顶点都是正方形网格的格点，则tan∠ABC= 图1图2注意：（1）由于锐角三角函数是一种比值，因此它只有大小而没有单位；（2）由于三角函数是一个比值，它的大小仅与角的大小有关，而与它所在的三角形的边的长度无关 （二）特殊角的三角函数值1．在△ABC中，若sinA＝1，tanB＝，则∠C的度数是____________ 2．若α是锐角，且3tanα－＝0，则cosα＝______，sin2α＝______。（三）解直角三角形的类型和解法1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，c＝17，求tanA的值。2．如图3，在等腰中，∠C=900 ，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=0.2，则AD的长为（ ）A．2 B． C． D．1图3（四）实际应用1．仰角、俯角 2．坡度（坡比）： 3．如图4，坡角为30°的斜坡上两树间地水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为 4．如图5，长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了 m。图4图5二、综合运用1．如图6，所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，点D在边BC上，且∠ADC＝45°，DC＝6，求tan∠BAD的值。图62．我市准备在相距2km的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6km的住宅小区(如图7)，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？图7三、课堂检测1．在△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinA的值是（ ）A． B． C． D．2．计算：sin60°＋2sin45°－2cos30°＝______________。3．图象经过点P(cos60°，－sin30°)的正比例函数的表达式为______________________。4．如图8，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝45则AC＝_________。5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图9那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是_________ 图9图86．如图10，小敏、小亮从A、B两地观测空中点C处的一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A、B两地相距100m。当气球沿与BA平行地飘移10秒后到达点C′处时，在点A处测得气球的仰角为45°。（1）求气球的高度。（2）求气球飘移的平均速度。图10四、课堂小结1．锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值。2．解直角三角形的一般类型。3．用解直角三角形知识解实际问题。五、拓展延伸1．如图11，在△ABC中，∠ABC＝135°，P为AC上一点，且∠PBA＝90°，（1）求tan∠APB；（2）若PB＝2，求AC 图112．图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景。图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图。已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝18°。(sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)（1）求AB的长；(精确到0.01米)（2）若测得EN＝0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度。(结果保留π) 【答案】知识梳理（一）1．； 2．； 3． （二）1．60° 2．；（三）1．解：在Rt△ABC中AC==15tanA=BC/AC=8/152．A（四）2．指斜坡的铅直高度与水平宽度的比。也就是坡角的正切值。3． 4．综合运用1．解：过D点作DE⊥AB，交AB于E点，在Rt△ADC中，∠C=90°，∠ADC=45°，DC=6，∴∠DAC=45°，∴AC=DC=6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinB=，∴，设AC=3k，则AB=5k，∴3k=6，∴k=2，∴AB=5k=10，根据勾股定理，得BC=8，∴BD=BC－DC=8－6=2在Rt△BDE中，∠BED=90°，sinB=，∴，DE=，根据勾股定理，得BE=，∴AE=AB-BE=10-=，∴tan∠BAD=2．解：过点C作CD⊥AB于D∴AD=CD/tan45°=CD BD=CD/tan30°=∵BD+AD=AB=2 即+CD=2∴答：修的公路不会穿越小区，故该小区居民不需搬迁。课堂检测1．A 2． 3． 4． 5． 6．解：（1）作CD⊥AB，C′E⊥AB，垂足分别为D，E，∵CD=BD·tan60°，CD=（100+BD）·tan30°， ∴（100+BD）·tan30°=BD·tan60°，∴BD=50，CD=50≈86.6 m，∴气球的高度约为86.6 m；（2）∵BD=50，AB=100，∴AD=150 ，又∵AE=C′E=50，∴DE=150－50≈63.40，∴气球飘移的平均速度约为6.34米/秒。课堂小结略拓展延伸1．解：过A作AD‖BP交CB延长线于D点，则△ABD为等腰直角三角形，AB=AD因AD‖BP 故AD/BP=AC/PC=3tan∠APB=AB/BP=AD/BP=AC/PC=3若PB=2，则AB=PB*tan∠APB=2×3=6依勾股定理，AP=2AC=AP+CP=AP+AP/2=3*AP/2=32．解：（1）过A作，分别交延长线于∵，，∴∴四边形为矩形∴在中，∵∴即AB的倾斜角度数约为18°。（2）∵∴∴∴ 的长=（米）答：小明头顶运动的路径的长约为1.60米。30°45°60°sincostan1