2023年初中数学8年级下册同步压轴题 期末考试平行四边形压轴题考点训练（二）（学生版+解析版）

这是一份2023年初中数学8年级下册同步压轴题 期末考试平行四边形压轴题考点训练（二）（学生版+解析版），文件包含2023年初中数学8年级下册同步压轴题期末考试平行四边形压轴题考点训练二教师版docx、2023年初中数学8年级下册同步压轴题期末考试平行四边形压轴题考点训练二学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
【答案】4或5或6
【分析】首先证明四边形DEHF为菱形；当E与A重合时，CF取最大值，此时四边形DEHF为正方形，即得CF最大为6，当H与B重合时，CF最小，设菱形DEHF的边长为x，可得x2=32+(9-x)2，即得CF最小为4，从而可得线段CF的整数值为4或5或6．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠BEF=∠DFE，
∵图形翻折后点D与点H重合，EF为折线，
∴∠DFE=∠HFE，DE=HE，DF=HF，
∴∠BEF=∠HFE，
∴EH=FH，
∴DE=EH=FH=DF，
∴四边形DEHF为菱形；
当E与A重合时，CF取最大值，如图：
此时∠EDF=∠ADC=90°，
∴四边形DEHF为正方形，
∴DF=AD=3，
∴CF=CD-DF=6，
即CF最大为6，
当H与B重合时，CF最小，如图：
设菱形DEHF的边长为x，则CF=9-x，
在Rt△HFC中，HF2=CF2+HC2，
∴x2=32+(9-x)2，
解得x=5，
∴CF=4，
即CF最小为4，
∴4≤CF≤6，
∴线段CF的整数值为4或5或6，
故答案为：4或5或6．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质，分别求出CF的最大、最小值．
2．如图，点M在正方形的对角线上由D向B运动，，交于点E，连接，将沿着翻折，点M落在点G处．若正方形的边长为4 ，的中点为S，则线段长度的最小值为_________．
【答案】
【分析】连接，，延长交于点F，证明，得出，，证明，得出四边形为正方形，得出，证明，得出，说明点G在直线上，根据垂线段最短，得出当时，最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接，，延长交于点F，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据翻折可知，，，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点G在直线上，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵此时，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，余角的性质，垂线段最短，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是作出辅助线，找出点G的运动轨迹．
3．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，．若，正方形的边上存在点，使，那么的坐标为________．
【答案】
【分析】分别根据题意画出点在正方形四条边上时的情况，利用三角形面积公式或者割补法表示和的面积，在根据具体情况求解即可．
【详解】如图，当点在边上时，
由题意可知，；
，此时不可能出现的情况；
如图，当点在边上时，
由题意可知，，
，此时不可能出现的情况；
如图，当在边上且在下方时，过做延长线与点，
，
，
此时，不成立；
如图，当在边上且在上方时，
，
，
当时， ，
解得，此情况不存在；
如图，当在边上且在轴左侧时，过点做延长线于点，
，
，
当时，，
解得，，
∴．
∴点坐标为．
当在边上且在轴右侧时，，
当时，，
解得，(舍去)；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及在平面直角坐标系背景下三角形面积计算，应用了三角形面积公式和利用割补法表示三角形面积，解答关键是利用数形结合思想解答问题．
4．如图，已知矩形的两条边，点是对角线的交点，点是边上一个动点，作点关于直线的对称点，当与矩形一条边垂直时，的长是 _____．
【答案】或5
【分析】根据折叠的性质可知，可得，，分两种情况：①当时，②当时.根据矩形的性质求出的长，即可求出的长.
【详解】如图，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴
①当时，
则
∴
在Rt中，，
设
则
在Rt中，根据勾股定理得，
即
解得，
②当时，
则
∵点关于直线的对称点为，
∴是的平分线，
综上所述，的长是或5．
故答案为：或5．
【点睛】本题是一个矩形当中的折叠问题，主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①对边平行且相等； ②四个角都是直角；③对角线相等且互相平分．
5．如图是的高，，若，，则=______．
【答案】
【分析】以为边作正方形，在上截取，由求得，，进而可得，再由正方形的性质可得，于是，设，在直角中利用勾股定理建立方程求解即可；
【详解】解：如图以为边作正方形，在上截取，
和中：，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
和中：，，，
∴，
∴，
设，
则，，
在直角中由勾股定理得：，
∴
解得：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键．
6．正方形的边长为，点为边上一点，，点为正方形内一动点且，过点作的垂线交的延长线于点，连接，则的最大值为______．
【答案】
【分析】如图，连接，，，设与交于点，过点作于点．求出，，根据，可得结论．
【详解】解：连接，，，设与交于点，过点作于点，连接、，如图所示：
四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
7．四边形ABCD为平行四边形，已知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内(包括边界)，则x的取值范围为____________．
【答案】≤x≤3－2
【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．
【详解】解：如图1，
当在AD上，此时，，，
∴，
∵ADBC，
∴四边形为平行四边形，
∴；
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，
∴DA＝DE＝，
在Rt△ABG和Rt△ACG中，
∴
∴BG＝2，
∴AG＝3＝DH，
在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，
∴CE＝3－2；
综上：x的取值范围为：≤x≤3－2．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在BC，CD边上，且CE＝DF，BF与DE交于点G，若BG＝3，DG＝5，则四边形ABGD的面积为 ___．
【答案】
【分析】首先利用菱形的性质得出AB＝AD，又由AB＝BD得出△ABD是等边三角形，进一步证明△CDE≌△DBF，得出∠BGE＝∠DGF＝60°，求得∠BGD＝120°，过点A再分别作AM⊥DE，AN⊥BF，连接AG，证明△ABN≌△ADM，把四边形ABGD的面积转化为四边形AMGN的面积即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝∠BDF＝∠C＝60°，
在△CDE和△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF(SAS)，
∴∠CDE＝∠DBF，
∴∠GBE＝∠BDE，
∴∠DBF＋∠GBE＝∠DBF＋∠BDE＝∠BGE＝∠DGF＝60°＝∠BAD，
∴∠BGD＝120°，
如图，过点A分别作AM⊥DE，AN⊥BF，垂足分别为M、N，连接AG，
∵四边形ABGD的内角和为360°，∠BAD＝60°，∠BGD＝120°，
∴∠ABG+∠ADG＝360°－∠BAD－∠BGD＝180°，
∵∠ABG+∠ABN＝180°
∴∠ABN＝∠ADM
在△ABN和△ADM中，
，
∴△ABN≌△ADM(AAS)，
∴，BN＝DM，
∴GN＋GM＝BG＋DG＝3＋5＝8，
在Rt△AGN和Rt△AGM中，
，
∴Rt△AGN≌Rt△AGM(HL)，
∴NG＝MG＝(BG＋DG)＝4，∠AGN＝∠BGD＝60°，
∴∠ANG＝30°，AG＝2GN＝8，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识点，将四边形ABGD的面积转化为四边形AMGN的面积是解题的关键．
9．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边上的动点，且，连接交于点G，P是边上的另一个动点，连接，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】取的中点O，连接，延长到T，使得，连接，，，过点O作于H．由题意，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，延长到T，使得，连接，，，过点O作于H．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．如图，正方形的边长为2，点E是边上的动点，连接、，将绕点E顺时针旋转得到，将绕点E逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为______．
【答案】
【分析】连接并延长，过作，交的延长线于，根据正方形的性质，可证出，从而可证是的平分线，同理可证：是的平分线，可得出、的运动轨迹便可求解．
【详解】
解：如图，连接并延长，过作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
在和中
，
即：
是的平分线
同理可证：是的平分线
在上运动，在上运动
当点与点重合时，则点与点重合；或当点与点重合时，则点与点重合；
此时最长，

当在的中点时，，此时、分别是、的中点，
此时最小
故答案：．
【点睛】本题考查了以正方形为背景的旋转问题，三角形的全等的判定及性质、勾股定理、正方形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．
11．如图，正方形中，点P是线段上的动点．
(1)当交于E时，
①如图1，求证：．
②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长．
【答案】(1)①见解析；②；(2)
【分析】(1)①连接，根据证明，得到，，再求出，进一步证明得到，等量代换可得结果；②先根据得到，得到，结合勾股定理得到；
(2)连接交于点O，先根据正方形的性质得到，，进一步得到当点P与点O重合时，的最小值，的最小值，以及此时，，最后根据M为中点得到Q为中点，即可求解．
【详解】(1)解：①如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，，理由是：
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，边长为4，
∴，，
∴当点P与点O重合时，的最小值为，
∵的最小值为，
∴的最小值为，
∴当点P与点O重合时，，如图，
∴，
∵M为中点，
∴Q为中点，
∴．
【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，勾股定理，最值问题，有一定难度，解题的关键是数形结合，利用正方形的性质添加辅助线．
12．在矩形中，，，点是边上一动点(不与点B、C重合)，将沿直线折叠得到，直线交直线于点．
(1)如图1，当点是的中点时，求的值；
(2)如图1，连接，求周长的最小值；
(3)如图2，延长，交的延长线于点，连接，若点，分别为，的中点，连接交于点，求证；．
【答案】(1)
(2)12
(3)见解析
【分析】(1)根据折叠得出，，，，，证明，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
(2)根据折叠得出，，由的周长为：，为定值，得出当最小时，的周长最小，
根据，得出当、、C在同一直线上时，最小，求出最小值即可；
(3)取的中点Q，连接，，，先证明四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出即可．
【详解】(1)解：∵点是的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
根据折叠可知，，，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
(2)解：根据折叠可知，，，
的周长为：，
∵为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∵，为定值，
∴当、、C在同一直线上时，最小，
∵，
∴的最小值为，
∴的周长最小值为．
(3)解：取的中点Q，连接，，，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵Q为的中点，为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的判定和性质．
13．在平行四边形中，的平分线交边于点，交的延长线于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，，连接、，当时，求证：；
(3)在(2)的条件下，当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)由四边形是平行四边形得，，所以，，由是的平分线得，所以，得；
(2)延长、交于点，连接，可证得四边形是平行四边形，四边形是菱形，推出和都是等边三角形，再证明，得出，进而证得结论；
(3)如图3，连接，根据平行四边形性质和角平分线性质可得出，过点作于点，可得，利用勾股定理求得，过点作于点，结合勾股定理即可求得答案．
【详解】(1)解：证明：如图1，四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
；
(2)证明：如图2，延长、交于点，连接，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
和都是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
(3)如图3，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
过点作于点，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
则，
，
点与点重合，
，
，
．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．问题背景：如图1，在等腰中，，，垂足为点D，在中，，，连接中点，连接，在绕点A旋转过程中，线段之间存在怎样的数量关系？
观察发现：
(1)为了探究线段和之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将绕点A旋转，使重合，如图2，易知和之间的数量关系为___________；
操作证明：
(2)继续将绕点A旋转，使与重合时，如图3，(1)中线段之间的数量关系仍然成立，请加以证明．
问题解决：
(3)根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)成立；理由见解析
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明即可；
(2)延长交于点G，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出，，证明，根据中位线性质得出，，即可证明结论；
(3)延长到点N，使，连接，，，证明，得出，，证明，得出，根据中位线性质得出，，即可证明结论．
【详解】(1)解：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
(2)证明：延长交于点G，如图所示：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵为的中点，为的中点，
∴，
同理得：，
∴．
(3)解：成立；理由如下：
延长到点N，使，连接，，，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴，
根据解析(2)可知，为的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
15．如图，矩形中，，．点，在对角线上，点，分别在边，上．
(1)若连接、．当四边形为菱形时，则___________；
(2)如图1，若，，分别是，的中点．求证：四边形为矩形．
(3)如图2，若，()，且四边形为矩形，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】(1)由菱形的性质和矩形的性质可得，，，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可；
(2)由矩形的性质及已知推出，由全等的性质得，，推出四边形是平行四边形，根据勾股定理求得，由已知等量代换可得，即可得证；
(3)连接，作于，则，，得，由矩形的性质得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】(1)解：四边形为菱形，
，
四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，
由勾股定理得：，
解得：，
故答案为：；
(2)证明：连接，
，分别是，的中点，四边形为矩形，，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形为矩形．
(3)解：连接，作于，
四边形为矩形，，，
四边形是矩形，，
，，，
四边形为矩形，，
，
在中，由勾股定理得：，解得：，
，．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
16．(1)如图1，为正方形的边上一点，以为腰作，连接交于点，连接．求证：为的中点；
(2)如图2，在荾形中，于点，以为腰作等腰，且使，连接交于点，连接．求证：为的中点;
(3)如图3，为正方形内一点，以为腰作等腰，延长交于点，，若，，则______．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】(1)过点作交于点，首先证明，其次证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论成立；
(2)连接，由已知可证明，其次证明是等腰三角形，则可证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论成立；
(3)连接，延长交于点H，过E作于点G；首先由可证明，则可得，；设的边上高为h，则由面积关系可求得h；易得是等腰直角三角形，设，则，，由面积关系可求得，则可求得x的值，从而求得，最后求得结果．
【详解】(1)证明：过点作交于点，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴为的中点；
(2)如图，设交点为F，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴为的中点；
(3)如图，连接，延长交于点H，过E作于点G；
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
即，
∵，
∴,
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
∴；
设的边上高为h，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，设，
则，，
∵，即，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题是特殊四边形的综合，考查了正方形与菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，灵活运用以上知识是解本题的关键.