2023年初中数学8年级下册同步压轴题 期末考试一次函数压轴题考点训练（三）（学生版+解析版）

期末考试一次函数解答题压轴考点训练(三)1．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，y轴于点C，D．(1)求点A的坐标；(2)在y轴左侧作直线轴，分别交直线AB，直线AC于点F，G，当时，过点G作直线轴于点H．能否在直线GH上找一点P，使的值最小，求出P点的坐标；(3)在第二象限是否存在点R，使得为等腰直角三角形，存在，求出所有点R的坐标；不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】(1)联立直线表达式，得到二元一次方程组，求出解即可得到点A坐标；(2)求出点D，E坐标，得到，设，根据，求出点G坐标，设F关于直线的对称点，连接，求出的表达式，令，即可得出点P坐标；(3)首先求出点C坐标，再分，，，三种情况，画出图形，结合全等三角形的判定和性质求解．【详解】(1)解：联立：，解得：，∴点A的坐标为；(2)在中，令，则，即，在中，令，则，即，∴，设，∵，∴，代入中，解得：，即，，设F关于直线的对称点，连接，则，设直线的表达式为：，将，代入，得，解得：，∴，令，得，∴点P的坐标为；(3)存在，在中，令，则，即，若，如图，过点A作x轴的垂线，分别过点C和点R作y轴的垂线，分别交于E，D，则， ∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴；若，过点A作x轴的垂线，垂足为E，过R作x轴的垂线，垂足为D，同理可证：，∴，，∴；若，过点R作y轴的垂线，分别过点A和点C作x轴的垂线，分别交于D，E，同理可证：，∴，，设，则，∵，∴，解得：，∴，∴；综上：存在点R，使得为等腰直角三角形，点R的坐标为或或．【点睛】本题考查了一次函数综合应用，等腰直角三角形的判定和性质，最短路径问题，全等三角形的判定和性质，有一定难度，综合性较强，解题的关键是对于问题要画出图形，结合图形求解，注意分类讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线()交于点P，．(1)求直线的解析式；(2)连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标；(3)将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)或；【分析】(1)先求出，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；(2)先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点Q的坐标；(3)先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．【详解】(1)解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令，则，∴点A为，∴，∵，∴点C为，点D为，∴直线的解析式为；(2)解：在中，令，则，∴点B为，∵，解得，∴点P的坐标为；∴；∵点Q在直线上，则设点Q为，则当点Q在点B的下方时，如下图：∵，点P的坐标为，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴点的坐标为；当点Q在点P的上方时，如上图：，∴，∴解得：，∴，∴点的坐标为；综合上述，点的坐标为或；(3)解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线，∴直线为，令，则，∴点E的坐标为，即；当作为矩形的边时，如图：∴点N的坐标为，∴点M的坐标为；当作为矩形的对角线时，如图：∴点F的坐标为，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴四边形是正方形，∴，，∴，∴点M的坐标为；综合上述，则点M的坐标为或；【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．例如：点M(，7)与N(5，6)的“纵2倍直角距离”，(1)①已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是________；②已知点，点P在第一象限，若点P与原点O的“纵2倍直角距离”，请求y关于x的函数关系式，并在图1中画出所有满足条件的点P组成的图形．(2)若直线上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，直接写出b的取值范围________．(3)已知点A(1，1)，B(3，1)，点T(t，0)是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为，，，．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得，直接写出t的取值范围________．【答案】(1)①，，；②作图见解答过程；(2)；(3)【分析】(1)①根据题意分别计算三个点与原点O的“纵2倍直角距离”即可；②根据题意，写出P点的解析式和取值范围，作图即可；(2)根据(1)中的图象可以得出与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点的图象，确定直线与图象有两个交点时b的临界值，再求出取值范围即可；(3)在坐标系中画出图象根据图象确定C点和E点的临界值，再求出取值范围即可．【详解】(1)①由题意知，，，，故答案为：，，；②由题知，，即，∵，∴，∴满足条件的点P组成的图形如下：(2)如图2所示，根据(1)②图象可以得出与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点的图形如下：根据图象可知，当直线在直线和直线之间时，直线上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，当直线过时，，解得，当直线过时，，解得，∴b的取值范围为；故答案为：；(3)当G点与A点重合时，则，因正方形顶点纵坐标小于1，只考虑的情形；当时，，满足条件的图形为线段，当时，，满足条件的图形为线段；当点G从点A移动到点B时，对应满足条件的H点的图形也平移2个单位得到线段，此时它们对应的解析式分别为、，如图，由图得点H的位置在阴影部分，即符合条件的正方形的位置在线段与线段之间，或在线段与线段之间，(Ⅰ)图中正方形在线段下方位置时，点D与H重合，∵，此时，，解得，图中正方形在线段上方位置时，点F与H重合，可得，，解得，∴t的取值范围为：；(Ⅱ)图中正方形在线段上方位置时，点F与H重合，可得，，解得，图中正方形在线段下方位置时，点D与H重合，可得，，解得，∴t的取值范围为：；综上，t的取值范围为：；故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数和直角坐标系的知识，熟练利用图象求临界值进而求取值范围是解题关键．4．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点B，C．直线：．(1)直接写出点B，C的坐标：B________；C________．(2)若D是直线上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线上的点，在平面内存在点Q．使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接求点Q的坐标．【答案】(1)；(2)或(3)或或【分析】(1)将代入解析式，求得点B坐标；将代入解析式，求得点C坐标；(2)设，可得即为以为底边上的高，列方程，即可解答．(3)分两种情况讨论，即为边或为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解．【详解】(1)解：直线：分别与x轴，y轴交于点B，C，将代入，可得，，将代入，可得，解得，．(2)解：D是直线上的点，，由条件得，，∴，∴，∴或，设CD的解析式为：①当时，，，对应的解析式为②当时，，，对应的解析式为综上，直线CD的解析式为或．(3)解：当点D在第一象限时，直线的解析式为，设点，①当以为边时，若四边形为菱形时：，可得方程：，解得，(舍去)，，，，；若四边形为菱形时：，可得方程：，解得，(舍去)，，同理可得；②当以为对角线时，与互相垂直平分，P点的纵坐标为2，即，，，．综上所述，点Q的坐标为或或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点距离公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．5．如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且(1)如图1，求证：；(2)如图2，当，时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)或(3)的度数是定值，【分析】(1)根据，得出，结合，即可得出，则；(2)根据题意得出点A、C的坐标分别为：、，即可求出直线的表达式为：，过点B作于点H，作轴，交于点G，用等面积法求出，即可得出，最后根据两点之间的距离公式列出方程求解即可； (3)作于D，取，连接，，通过证明，得出，进而得出是等腰直角三角形，则，推出，即可得出结论的度数是定值，．【详解】(1)证明：∵，∴，∵，∴，∴；(2)解：当，时，则，，即点A、C的坐标分别为：、，设直线的表达式为：，将点、代入得：，解得：，直线的表达式为：，如下图，过点B作于点H，作轴，交于点G，把代入得：，解得：，∴，∴，∵，，∴，根据勾股定理可得：，∵，∴，即，解得：，∵，则，设点，则，解得：或，故过点B的直线与交点的横坐标为：或；(3)解：的度数是定值，，理由：作于D，取，连接，，∵，，，∴，∴∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴可由平移所得，∴，∴，∴．∴的度数是定值，．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是6．在平面直角坐标系中，，若P为矩形内(不包括边界)一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点．(1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___；(2)若为矩形的矩宽点，求m的值；(3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．(直接写出答案)【答案】(1)D，F；(2)或；(3)，或．【分析】(1)根据矩宽点的定义即可判断；(2)根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题；(3)如图1中由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上(不包括端点)，其中，，，，，．分别求出直线经过、、、时的的值即可解决问题；【详解】(1)，点是矩宽点，，点是矩宽点．故答案为和．(2)分别令等于2可得：或(3)将代入得，所以一次函数的图像经过定点，设则若，则，即，∴此时点P在直线上满足题意同理时，a＋b＝5  即b＝－a＋5时，a＋b＝1  即b＝－a＋1 时  b－a＝－3  即b＝a＋3 L1：代入(1，0)，k＝－1L2：代入(1，2)，k＝－3L3：代入(3，2)，k＝3L4：代入(4，1)，k＝1所以k的取值范围为：或，故答案为：，或【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点(1)求m的值和一次函数的表达式；(2)求的面积；(3)在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1),(2)6(3)，，，【分析】(1)根据正比例函数过，可得m，设一次函数解析式为代入求解即可；(2)根据一次函数解析式求出B点坐标，然后利用三角形面积公式直接求解；(3)根据A、B坐标，求出，然后分三种情况：分别是，，为底时求解即可．【详解】(1)解：∵正比例函数过，，解得：，，设一次函数解析式为，且过A、C，得：解得∴一次函数解析式为：．(2)解：由(1)可知，，的面积为：．(3)解：由(1)，，，，，情况一：当底是时，如图：     ，；情况二：当底是时，如图： M在A右侧，，，，M 在A左侧，，，，情况三、当底是时，如图：，，，，解得：，，综上所述：，，，．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和图像，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图像，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键．8．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形的直角顶点C：过点A作于点D，过点B作于点E研究图形，不难发现：．(无需证明)：(1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标；(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线：分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针或逆时针旋转得到，请任选一种情况求的函数表达式；(3)如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)顺时针：；逆时针：(3)能，【分析】(1)如图1，过点轴于E．证明推出，可得；(2)①若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由(1)的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式；②若将直线绕点A逆时针旋转得到，仿照①中方法求解即可；(3)分两种情况讨论：当Q点下方时，过Q点作轴交y轴于点E，交于点F，由(1)的模型可得，，可得，，再由，求出(舍)；当Q点在上方时，同理可得，，再由，可求．【详解】(1)解：如图2，过点轴于E，∵点C的坐标为，A点的坐标为，∴，，∵等腰，，，又∵轴，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴；(2)解：①若将直线绕点A顺时针旋转得到，如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，∵，∴，由(1)的模型可得，∵与x轴的交点， ，∴，，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴；②若将直线绕点逆时针旋转得到，如图，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，∵，∴，由(1)的模型可得，∵与x轴的交点， ，∴，，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴；(3)解：点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：当Q点下方时，过Q点作轴交y轴于点E，交于点F，由(1)的模型可得，，∴，，∵，∴，，∵点，∴，，∵，∴，解得，∴，∵Q点在第一象限，∴(舍)；当Q点在上方时，如图5，同理可得，，∵，∴，解得．综上所述：a的值为．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题．9．如图，在平面直角坐标系中，，，，轴于点C，轴于点D，且E是y轴正半轴上的一点，．(1)求点E的坐标；(用含m的式子表示)(2)如备用图1，已知，连接，若，则：①求m的值；②如备用图2，若P，Q分别是线段，射线上的一点，求的最小值．【答案】(1)点E的坐标为；(2)①；②的最小值为．【分析】(1)根据证明，得到，推出，即可求解；(2)①根据证明得到，而，，利用勾股定理即可求解；②作点O关于直线的对称点，连接，则，由于，故只要求得的最小值即可得到的最小值，根据垂线段最短可知，当轴时，最小，据此进一步计算即可求解．【详解】(1)解：∵，轴，轴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴点E的坐标为；(2)解：①连接，由(1)可知，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴；②作点O关于直线的对称点，连接，则，由于，故只要求得的最小值即可得到的最小值，根据垂线段最短可知，当轴时，最小，由①得，∴，，设直线的解析式为，把，代入得，解得，∴直线的解析式为，设点的坐标为，则的中点G的坐标为，直线与y轴的交点为Ｉ，则点Ｉ的坐标为，∴，∵，∴，∴，整理得，∵点O与点关于直线对称，∴点G在直线上，∴，即，∴，整理得，即，解得，则，∴点到x轴的距离为，即的最小值为．【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，坐标与图形，列代数式及轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为3．(1)求一次函数的表达式；(2)点D为x轴正半轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)点E为直线上一点(不与点C重合)，设点E的横坐标为m．①若，请直接写出m的取值范围；②若，请直接写出点E的坐标．【答案】(1)(2)或或(3)①且；②或【分析】(1)先求出点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)设，分别表示出，分三种情况讨论，建立方程求解即可；(3)①先利用待定系数法求直线的解析式，进而表示出，计算，可得且，当时，点E有两种情况，分别讨论当时，，当时，，进而求解即可；②分别讨论当点E在直线上方和下方两种情况，以线段为边在其上方作正方形，连接，交于E，过点作轴于点P，通过证明，根据全等三角形的性质得出，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立求解即可．【详解】(1)∵点C的横坐标为3，∴对于，令，得，∴，把，代入，得，解得，∴．(2)当时，，∴，设，∵，∴，当时，即，解得，当时，即，解得或(舍去)，当时，即，解得，∴点D的坐标为或或；(3)①设直线的解析式为，把代入，得，解得，∴直线的解析式为，当时，，∴，∵，，∴，∴，∴且，当时，点E有两种情况，讨论如下：当时，，解得，∴；当时，，解得，∴；综上，且；②当点E在直线上方时，如图，以线段为边在其上方作正方形，连接，交于E，过点作轴于点P，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，设直线的解析式为，把点B、N的坐标代入得，解得，∴直线的解析式为，联立，解得，此时，点E坐标为；当点E在直线下方时，同理可得，∴直线的解析式为，联立可得点E坐标为；综上，点E坐标为或．【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的定义，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．11．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．(1)请直接写出直线的关系式：_________(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．【答案】(1)(2)当或时，(3)【分析】(1)根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解；(3)是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，∴，且，设直线的解析式为，∴，解得，，∴直线的解析式为，故答案为：．(2)解：由(1)可知直线的解析式为，直线的解析式为，∴，∴，如图所示，点在直线上，过点作轴于，∴设，，∴，，，∴，若，则，当时，，解得，，即；当时，，解得，，即；综上所述，当或时，．(3)解：已知，设，∴在中，，∵是等腰直角三角形，，∴；如图所示，过点作轴于，在中，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，且轴，∴是等腰直角三角形，，则点的轨迹在射线上，如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，，，∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，∴，∴轴，且，∴，则，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；∴由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．12．如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．(1)直接写出m＝　　，a＝　　，b＝　　；(2)求长方形的长；(3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式．【答案】(1)1，4，9(2)6(3)【分析】(1)当由三角形面积公式可得进而得到，然后代入可得a，，进而求得m；同理当时可求得b；(2)由图像可得在时，的面积不变，然后根据题意可得当t=a时，S△ABP=8，则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当t=b时，S△ABP=4，从而求得b的值；(3)分，，三种情况，分别画出图形求解即可．【详解】(1)解：当时，，∴，∴，∴，∴，当时，，∴，∴，∴，故答案为：1；4；9；(2)解：在时，的面积不变，此时：点P在上运动，速度为每秒2个单位，∴，在时，的面积为12，∴，∴，∴长方形的长为6；(3)解：根据题意可知，；当时，如图，，∴；当时，如图，，；当时，如图，，∴，∴；∴．【点睛】本题属于一次函数的综合题，主要考查了学生观察图像的能力、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．13．如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时旋转得到线段，点恰好落在直线上时，过点作轴于点．(1)求线段的长；(2)如图②，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，直接写出点的坐标及线段的长；(3)在(2)的条件下，若点在轴上，点在直线上，则是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)或或【分析】(1)用角角边证明，即可求解；(2)根据(1)的结论求得，设，代入直线即可求得D的坐标，根据平移的性质设直线的解析式为，求得直线的解析式为，进而求得，即可求得的长；(3)根据题意画出图形，过点C作交y轴于点P，确定直线的解析式为，得出，结合平行四边形的性质求解即可．【详解】(1)解：∵，∴，∴，∵，∴；；(2)设直线解析式为，把、代入得，解得，故直线的解析式为，∵由得：，设，而，∴，∵点D在直线上，把代入,解得，∴，点，，设直线的解析式为，将点，代入得解得，，平移，设直线的解析式为，将点代入得，解得，直线的解析式为，令，解得，即，，(3)存在，理由如下，如图所示，过点C作交y轴于点P，∴设直线的解析式为：，将点代入得：，∴直线的解析式为：，∴，∵，，当时，四边形，四边形是平行四边形，∴设点，，∴，解得：或，或，当时，四边形是平行四边形，∴，∴，∴综上可得：或或．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题的关键．