人教版9年级上册数学同步压轴题 专题05 相似三角形中的动点问题（学生版+教师解析）

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例1．(分类讨论)如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．
(1)当时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
例2．(角度相等)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为AD中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：
(1)当PQ∥AE时，求t的值；
(2)设四边形AEPQ的面积为y(cm2)，试确定y与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
(1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于？
(2)经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【变式训练2】(一次函数与相似)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，点P的坐标为．点E是y轴上一动点，QP⊥EP交AB于点Q(保持点Q在x轴上方)，EF⊥EQ交AB于点F．
(1)当PQ⊥AB时，求OE的长．
(2)当点E在线段OB上移动时，设AQ＝n，OE＝m，求n关于m的函数表达式．
(3)点E在射线OB上移动过程中，点Q、E、F构成的三角形与△OAB相似，求出点E的纵坐标．
【变式训练3】如图1，已知矩形的边长，．某一时刻，动点M从点A出发，沿以的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿方向以的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．
(1)若是等腰直角三角形，则___________(直接写出结果)．
(2)是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接，试求的最小值．
【变式训练4】(二次函数与相似)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，﹣3)，顶点D的坐标为(1，﹣4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点 的坐标是，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段OC运动，连接OB，连接PQ与线段OB相交于点D，两点同时出发，当点Q到达点O时，P，Q同时停止运动，设运动时间为．
(1)_____________，_____________(请用含的代数式表示)
(2)当时，求的值．
(3)在P，Q运动的过程中，将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F．
①当点F恰好落在线段OB上时，直接写出此时的t值．
②连接PF，连接OF，当时，直接写出此时点F的坐标．
2．如图，抛物线的图象与轴交于点，，与轴相交于点，顶点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是轴右侧抛物线上一点，过点作轴于，以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
(1)如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若，求证：．
②若，求四边形的面积．
(2)是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
4．如图，在矩形中，，是对角线的中点，是线段上一点，射线交于点，交延长线于点，连接，在上取点，使，设，
(1)连接，当时，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由．
(2)当时，若平行的某一边，求的长．
(3)若，分别记和的面积为和，且．求的值．
5．如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)，过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．
(1)当m＝1时，求PE的长；
(2)连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；
(3)如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
6．如图，在平行四边形中，，点是线段上的一个动点，点是平行四边形边上一点，且．
(1)如图1，若，求证：；
(2)若，．
①如图2，连接交于点，，求的值．
②如图3，点从点运动到点，求点的运动的路径长．
7．如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题：
(1)当为何值时，？
(2)连接，设的面积为，求与的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
8．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，QM//BC？
(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．