数学华师大版3. 求二次函数的表达式课堂检测

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知识点 1 一般式——已知抛物线上三个一般点的坐标
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,利用待定系数法把这三点坐标代入函数表达式可得一个关于a,b,c的 元一次方程组,解方程组得a= ,b= ,c= ,则这个二次函数的表达式为 .
2.经过点(-3,1),(1,1)和(0,-2)的抛物线所对应的函数表达式为( )
A.y=x2+2x-2B.y=x2-2x-2
C.y=x2-2x+2D.y=-x2-12x+12
3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,12),(0,5)和(2,-3),则a+b+c的值为 .
4. 已知一个二次函数的图象经过A(0,-3),B(1,0),C(m,2m+3),D(-1,-2)四点,求这个函数的表达式以及点C的坐标.
知识点 2 顶点式——已知抛物线的顶点坐标或对称轴
5.抛物线y=-x2+bx+c如图1所示,则此抛物线所对应的二次函数表达式为( )
图1
A.y=-x2+4x+20B.y=-x2-4x+20C.y=-x2+4x+12D.y=-x2+4x-12
6.若当x=1时,某二次函数有最大值5,且该二次函数的图象与y轴交于点(0,2),则其表达式为 .
7.已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的开口方向、对称轴.
8.已知抛物线y=13x2+bx+c过点C(-1,m),D(5,m)和A(4,-1),求这条抛物线所对应的函数表达式.
知识点 3 两点式——已知抛物线与x轴的交点
9.若二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(-1,0),B(2,0),C(0,-2)三点,根据A,B两点在x轴上,可设该函数的表达式为y=a(x 1)(x 2),将C(0,-2)代入表达式,解得a= ,
则这个二次函数的表达式为 .
10.抛物线y=-x2+bx+c如图2所示,则b+c的值等于( )
图2
A.8 B.9C.10 D.11
【能力提升】
11.已知某二次函数的图象如图3所示,则这个二次函数的表达式为( )
图3
A.y=-3(x-1)2+3B.y=3(x-1)2+3C.y=-3(x+1)2+3D.y=3(x+1)2+3
12.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12x2-4x+3相同,顶点坐标为(-2,1),则该抛物线的函数关系式为 ( )
A.y=12(x-2)2+1B.y=12(x+2)2-1
C.y=12(x+2)2+1D.y=-12(x+2)2+1
13.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为( )
A.-2B.-4C.2D.4
14.已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:
则该二次函数的表达式为 .
15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点及点(-2,-2),且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4,那么该二次函数的表达式为 .
16.如图4,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A,且经过点B.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式;
(2)若点Cm,-92在该抛物线上,求m的值.
图4
17.如图5,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在二次函数图象上存在一点P,使得△ABP的面积为10,求点P的坐标.
图5
26.2.3 求二次函数的表达式
1.三 4 5 0 y=4x2+5x 2.A
3.0
4.解:设这个函数的表达式为y=ax2+bx+c.
把点A(0,-3),B(1,0),D(-1,-2)的坐标代入,得c=-3,a+b+c=0,a-b+c=-2,
解得a=2,b=1,c=-3,
所以这个函数的表达式为y=2x2+x-3.
因为点C(m,2m+3)在这个二次函数的图象上,
所以2m2+m-3=2m+3,
解得m1=-32,m2=2.
当m=-32时,2m+3=0;当m=2时,2m+3=7,
所以点C的坐标为-32,0或(2,7).
5.C
6.y=-3x2+6x+2
7.解:(1)设这个二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k,把顶点(-1,2)和点(1,-3)的坐标代入表达式,得a=-54,h=-1,k=2,所以这个二次函数的表达式为y=-54(x+1)2+2.
(2)由(1)中的函数表达式可得:该抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1.
8.解:因为抛物线y=13x2+bx+c过点C(-1,m)和D(5,m),
所以对称轴是直线x=-1+52=2,
即-b2×13=2,
解得b=-43,
即y=13x2-43x+c.
因为抛物线过点A(4,-1),
所以-1=13×42-43×4+c,
解得c=-1,
所以这条抛物线所对应的函数表达式是y=13x2-43x-1.
9.+ - 1 y=(x+1)(x-2)或y=x2-x-2
10.B [解析] 由图象可知,抛物线与x轴交于点(-1,0)和(5,0),
所以-1-b+c=0,-25+5b+c=0,解得b=4,c=5,
则b+c=9.
11.A 12.C 13.B
14.y=x2+x-2
15.y=12x2+2x或y=-16x2+23x
16.解:(1)由直线y=-x-2,
令x=0,则y=-2,所以点B的坐标为(0,-2).
令y=0,则x=-2,所以点A的坐标为(-2,0).
设抛物线所对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k.
因为抛物线的顶点为A,
所以y=a(x+2)2.
因为抛物线经过点B,所以-2=4a,
解得a=-12,
所以抛物线所对应的函数表达式为y=-12(x+2)2,
即y=-12x2-2x-2.
(2)方法1:因为点Cm,-92在抛物线y=-12(x+2)2上,
所以-12(m+2)2=-92,
解得m1=1,m2=-5.
即m的值为1或-5.
方法2:因为点Cm,-92在抛物线y=-12x2-2x-2上,所以-12m2-2m-2=-92,
所以m2+4m-5=0,解得m1=1,m2=-5.
即m的值为1或-5.
17.解:(1)设这个二次函数的表达式为y=a(x-1)(x+3).把点C(0,-3)的坐标代入,得a·(-1)·3=-3,解得a=1,
故这个二次函数的表达式为y=(x-1)(x+3),即y=x2+2x-3.
(2)因为A(1,0),B(-3,0),
所以AB=4.
设点P的坐标为(m,n).
因为△ABP的面积为10,
所以12AB·|n|=10,
解得n=±5.
当n=5时,m2+2m-3=5,
解得m=-4或m=2,
所以点P的坐标为(-4,5)或(2,5);
当n=-5时,m2+2m-3=-5,即m2+2m+2=0,
因为Δ=b2-4ac=22-4×1×2=-4<0,
所以方程m2+2m+2=0无解,故n=-5不合题意,舍去.
综上,点P的坐标为(-4,5)或(2,5).
x
…
-32
-1
-12
0
12
1
32
…
y
…
-54
-2
-94
-2
-54
0
74
…