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初中数学华师大版九年级下册2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质背景图课件ppt
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这是一份初中数学华师大版九年级下册2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质背景图课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了逐点学练，本节小结，作业提升，本节要点，学习流程，知识点，解列表如下，答案A，直线x＝4，x＝4等内容，欢迎下载使用。
二次函数y=ax2+k的图象与性质二次函数y=a(x－h)2 的图象与性质二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系二次函数y=ax2+bx+c 与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的最值
二次函数y=ax2+k的图象与性质
1. 二次函数y=ax2+k 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2+k 的图象可由二次函数y=ax2 的图象上下平移|k| 个单位得到.
平移规律口诀上加下减，纵变横不变.“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2上下平移｜k｜个单位得到的，“上加”表示当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移.“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
2. 二次函数y=ax2+k 的图象
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法(1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图.(2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
画出函数y=－x2+1 与y=－x2－1 的图象，并根据图象回答下列问题.
解题秘方：紧扣抛物线y=ax2+k 与抛物线y=ax2 间的关系及图象的平移规律解答.
描点、连线，即得到这两个函数的图象，如图26.2-6.
(1)抛物线y=－x2+1 经过怎样的平移才能得到抛物线y=－x2－1 ？
解：由图象可以看出，抛物线y=－x2+1 向下平移2个单位得到抛物线y=－x2－1.
(2)对于函数y= －x2+1，其图象与x 轴的公共点的坐标是_________________；对称轴是________； 顶点坐标是________.
(－1，0)，(1，0)
1-1. 把抛物线y=ax2+c向上平移4 个单位，得到的抛物线的关系式为y=－2x2， 则a，c 的值分别为( )A. 2，4 B. －2，－4C. －2，4 D. 2，－4
1-2. 二次函数y=－x2－2 的图象大致是( )
1-3. 二次函数y=(a－2)·x2－3， 当x<0 时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是( )A. a>－2 B. a>2C. a<－2 D. a<2
二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
1. 二次函数y=a(x－h)2 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(x－h)2 的图象可由二次函数y=ax2 的图象左右平移|h| 个单位得到.
方法点拨平移规律：左加右减，横变纵不变.1. “左加”表示当h＜0时，函数y=a(x－h)2可变形为y=a(x+|h|)2，其图象可以由函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位得到.2. “右减”表示当h＞0时，函数y=a(x－h)2的图象可以由函数y=ax2的图象向右平移h个单位得到.3. “横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变.
2. 二次函数y=a(x－h)2 的图象
解题秘方：由两个函数图象的位置与系数的关系判断.
2-1. 抛物线y=－2x2 可由抛物线y=－2(x－3)2向_______平移________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称轴是___________；当______时，函数值y有_______，此时值为________.
二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质
1. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是位置不同；二次函数y=a(x－h)2+k 的图象可由二次函数y=ax2 的图象平移得到.
2. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质
特别解读●从y=a(x－h)2+k(a≠0)中可以直接得出抛物线的顶点坐标，所以通常把它称为二次函数的顶点式，顶点坐标是(h，k).●将二次函数y=ax2的图象左右平移|h|个单位得到二次函数y=a(x－h)2的图象，再将二次函数y=a(x－h)2的图象上下平移|k|个单位得到二次函数y=a(x－h)2+k 的图象.
对于抛物线y=－(x+1)2+3，下列结论：① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1；③ 顶点坐标为(－1，3)；④当x>1 时，y 随x 的增大而减小. 其中正确结论有________.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质逐一判断.
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为(－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
3-1. [中考·新疆] 已知抛物线y＝(x－2)2+1，下列结论错误的是( )A. 抛物线的开口向上B. 抛物线的对称轴为直线x=2C. 抛物线的顶点坐标为(2，1)D. 当x＜2 时，y 随x的增大而增大
3-2. 若二次函数y=(x－m)2 －1, 当x ≤ 3 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是________.
二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系
2. 图象和性质关系
特别解读1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a 的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全一样，故它们之间可通过互相平移得到.2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项.
解题秘方：紧扣特殊形式的二次函数间的关系进行解答.
(1)求出a，h，k 的值；
(3)观察二次函数y=a(x－h)2+k 的图象，当x_______时，y 随x 的增大而增大；当x________时，函数有最_____值，最_____值是_____；
(4)观察二次函数y=a(x－h)2+k 的图象，你能说出对于一切x 的值，y 的取值范围吗？
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛物线的表达式是( )A. y=x2+3B. y=x2－3C. y=(x+3)2D. y=(x－3)2
4-2. [中考·山西] 抛物线的函数关系式为y=3(x－2)2+1， 若将x轴向上平移2 个单位，将y 轴向左平移3 个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数关系式为( )A. y=3(x+1)2+3B. y=3(x－5)2+3C. y=3(x－5)2－1D. y=3(x+1)2－1
二次函数y=ax2+bx+c 与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系
2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的画法方法一：描点法.(1)把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x－h)2+k 的形式；(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用光滑的曲线顺次连结.
方法二：平移法.(1)把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x－h)2+k 的形式，确定其图象的顶点坐标(h，k)；(2)作出二次函数y=ax2 的图象；(3)将二次函数y=ax2 的图象平移，使其顶点平移到(h，k).
对于抛物线y=x2－4x+3. (1)将抛物线的关系式化为顶点式.
解题秘方：先用配方法将一般式转化为顶点式，再进行解答.
解：∵y=x2－4x+3=(x2－4x+4)－4+3=(x－2)2－1，∴顶点式为y=(x－2)2－1.
(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.
“五点”包括顶点，以及关于对称轴对称的两对点.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
活学巧记曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值，如果要画抛物线，描点平移两条路.提取配方定顶点，平移描点皆成图.列表描点后连线，五点大致定全图.若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小都不变.
已知抛物线y=2x2－4x－6.(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
解：开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，－8).
(2)求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；
解题秘方：类比一次函数的方法，求图象与x 轴的交点坐标，令y=0，再解方程；求图象与y 轴的交点坐标，令x=0，再代入求值.
解：令y=0，得2x2－4x－6=0，解得x1=－1，x2=3.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0).令x=0，得y=－6.∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－6).
(3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？
解：当x ≥ 1 时，y 随x 的增大而增大.
6-1. 已知二次函数y=x2－4x+m 的最小值是－2， 则m 的值为________．
6-2. [易错题] 已知抛物线y=－x2+2kx－3 的顶点在x 轴的负半轴上，则k 的值等于_______.
二次函数y=ax2+bx+c的最值
最大值为y2，最小值为y0 ①
最大值为y1，最小值为y0 ②
最大值为y2，最小值为y1 ③
最大值为y0，最小值为y1 ④
最大值为y0，最小值为y2 ⑤
特别提醒：二次函数取最值主要分两大类：第一大类是自变量取任意实数时，直接用顶点坐标确定最值；第二大类是自变量的取值范围不是任意实数时，看顶点的横坐标是否在自变量的取值范围之内.若在，结合顶点坐标确定最值；若不在，利用增减性确定最值.
如图26.2-11，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF 与GH 将矩形ABCD 分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．现有总长80 米的篱笆，当围成的花圃ABCD 的面积最大时，AB= _______米.
解题秘方：先建立二次函数模型，再结合自变量的取值范围以及函数的增减性求最值.
解：∵三块矩形区域的面积相等，∴ S矩形AEFD=2S矩形BCFE，∴ AE=2BE.设矩形ABCD 的面积为y平方米，BC=x 米，BE=a 米，则AE=2a 米，
7-1. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为40 m 的栅栏围成(如图所示)， 若设花园BC边的长为x m，花园面积为y m2.
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
(2)满足条件的花园面积能达到200 m2 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由.
(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x 取何值时，花园面积最大？最大面积为多少？
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
二次函数y=ax2+k的图象与性质二次函数y=a(x－h)2 的图象与性质二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系二次函数y=ax2+bx+c 与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的最值
二次函数y=ax2+k的图象与性质
1. 二次函数y=ax2+k 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2+k 的图象可由二次函数y=ax2 的图象上下平移|k| 个单位得到.
平移规律口诀上加下减，纵变横不变.“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2上下平移｜k｜个单位得到的，“上加”表示当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移.“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
2. 二次函数y=ax2+k 的图象
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法(1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图.(2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
画出函数y=－x2+1 与y=－x2－1 的图象，并根据图象回答下列问题.
解题秘方：紧扣抛物线y=ax2+k 与抛物线y=ax2 间的关系及图象的平移规律解答.
描点、连线，即得到这两个函数的图象，如图26.2-6.
(1)抛物线y=－x2+1 经过怎样的平移才能得到抛物线y=－x2－1 ？
解：由图象可以看出，抛物线y=－x2+1 向下平移2个单位得到抛物线y=－x2－1.
(2)对于函数y= －x2+1，其图象与x 轴的公共点的坐标是_________________；对称轴是________； 顶点坐标是________.
(－1，0)，(1，0)
1-1. 把抛物线y=ax2+c向上平移4 个单位，得到的抛物线的关系式为y=－2x2， 则a，c 的值分别为( )A. 2，4 B. －2，－4C. －2，4 D. 2，－4
1-2. 二次函数y=－x2－2 的图象大致是( )
1-3. 二次函数y=(a－2)·x2－3， 当x<0 时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是( )A. a>－2 B. a>2C. a<－2 D. a<2
二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
1. 二次函数y=a(x－h)2 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(x－h)2 的图象可由二次函数y=ax2 的图象左右平移|h| 个单位得到.
方法点拨平移规律：左加右减，横变纵不变.1. “左加”表示当h＜0时，函数y=a(x－h)2可变形为y=a(x+|h|)2，其图象可以由函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位得到.2. “右减”表示当h＞0时，函数y=a(x－h)2的图象可以由函数y=ax2的图象向右平移h个单位得到.3. “横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变.
2. 二次函数y=a(x－h)2 的图象
解题秘方：由两个函数图象的位置与系数的关系判断.
2-1. 抛物线y=－2x2 可由抛物线y=－2(x－3)2向_______平移________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称轴是___________；当______时，函数值y有_______，此时值为________.
二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质
1. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是位置不同；二次函数y=a(x－h)2+k 的图象可由二次函数y=ax2 的图象平移得到.
2. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质
特别解读●从y=a(x－h)2+k(a≠0)中可以直接得出抛物线的顶点坐标，所以通常把它称为二次函数的顶点式，顶点坐标是(h，k).●将二次函数y=ax2的图象左右平移|h|个单位得到二次函数y=a(x－h)2的图象，再将二次函数y=a(x－h)2的图象上下平移|k|个单位得到二次函数y=a(x－h)2+k 的图象.
对于抛物线y=－(x+1)2+3，下列结论：① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1；③ 顶点坐标为(－1，3)；④当x>1 时，y 随x 的增大而减小. 其中正确结论有________.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质逐一判断.
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为(－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
3-1. [中考·新疆] 已知抛物线y＝(x－2)2+1，下列结论错误的是( )A. 抛物线的开口向上B. 抛物线的对称轴为直线x=2C. 抛物线的顶点坐标为(2，1)D. 当x＜2 时，y 随x的增大而增大
3-2. 若二次函数y=(x－m)2 －1, 当x ≤ 3 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是________.
二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系
2. 图象和性质关系
特别解读1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a 的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全一样，故它们之间可通过互相平移得到.2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项.
解题秘方：紧扣特殊形式的二次函数间的关系进行解答.
(1)求出a，h，k 的值；
(3)观察二次函数y=a(x－h)2+k 的图象，当x_______时，y 随x 的增大而增大；当x________时，函数有最_____值，最_____值是_____；
(4)观察二次函数y=a(x－h)2+k 的图象，你能说出对于一切x 的值，y 的取值范围吗？
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛物线的表达式是( )A. y=x2+3B. y=x2－3C. y=(x+3)2D. y=(x－3)2
4-2. [中考·山西] 抛物线的函数关系式为y=3(x－2)2+1， 若将x轴向上平移2 个单位，将y 轴向左平移3 个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数关系式为( )A. y=3(x+1)2+3B. y=3(x－5)2+3C. y=3(x－5)2－1D. y=3(x+1)2－1
二次函数y=ax2+bx+c 与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系
2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的画法方法一：描点法.(1)把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x－h)2+k 的形式；(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用光滑的曲线顺次连结.
方法二：平移法.(1)把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x－h)2+k 的形式，确定其图象的顶点坐标(h，k)；(2)作出二次函数y=ax2 的图象；(3)将二次函数y=ax2 的图象平移，使其顶点平移到(h，k).
对于抛物线y=x2－4x+3. (1)将抛物线的关系式化为顶点式.
解题秘方：先用配方法将一般式转化为顶点式，再进行解答.
解：∵y=x2－4x+3=(x2－4x+4)－4+3=(x－2)2－1，∴顶点式为y=(x－2)2－1.
(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.
“五点”包括顶点，以及关于对称轴对称的两对点.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
活学巧记曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值，如果要画抛物线，描点平移两条路.提取配方定顶点，平移描点皆成图.列表描点后连线，五点大致定全图.若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小都不变.
已知抛物线y=2x2－4x－6.(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
解：开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，－8).
(2)求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；
解题秘方：类比一次函数的方法，求图象与x 轴的交点坐标，令y=0，再解方程；求图象与y 轴的交点坐标，令x=0，再代入求值.
解：令y=0，得2x2－4x－6=0，解得x1=－1，x2=3.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0).令x=0，得y=－6.∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－6).
(3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？
解：当x ≥ 1 时，y 随x 的增大而增大.
6-1. 已知二次函数y=x2－4x+m 的最小值是－2， 则m 的值为________．
6-2. [易错题] 已知抛物线y=－x2+2kx－3 的顶点在x 轴的负半轴上，则k 的值等于_______.
二次函数y=ax2+bx+c的最值
最大值为y2，最小值为y0 ①
最大值为y1，最小值为y0 ②
最大值为y2，最小值为y1 ③
最大值为y0，最小值为y1 ④
最大值为y0，最小值为y2 ⑤
特别提醒：二次函数取最值主要分两大类：第一大类是自变量取任意实数时，直接用顶点坐标确定最值；第二大类是自变量的取值范围不是任意实数时，看顶点的横坐标是否在自变量的取值范围之内.若在，结合顶点坐标确定最值；若不在，利用增减性确定最值.
如图26.2-11，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF 与GH 将矩形ABCD 分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．现有总长80 米的篱笆，当围成的花圃ABCD 的面积最大时，AB= _______米.
解题秘方：先建立二次函数模型，再结合自变量的取值范围以及函数的增减性求最值.
解：∵三块矩形区域的面积相等，∴ S矩形AEFD=2S矩形BCFE，∴ AE=2BE.设矩形ABCD 的面积为y平方米，BC=x 米，BE=a 米，则AE=2a 米，
7-1. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为40 m 的栅栏围成(如图所示)， 若设花园BC边的长为x m，花园面积为y m2.
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
(2)满足条件的花园面积能达到200 m2 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由.
(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x 取何值时，花园面积最大？最大面积为多少？
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
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