初中数学华师大版九年级下册3. 求二次函数的表达式图片课件ppt

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用待定系数法求二次函数的表达式二次函数的简单应用
用待定系数法求二次函数的表达式
1. 常见的二次函数表达式的适用条件：(1)一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线上三点的坐标时，可设此二次函数的表达式为y=ax2+bx+c；
(2)顶点式y=a(x－h)2+k(a，h，k 为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时，可设此二次函数的表达式为y=a(x－h)2+k；(3)交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2 为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设此二次函数的表达式为y=a(x－x1)(x－x2).
2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤：(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式.
技巧提醒特殊位置抛物线的表达式的设法技巧：1. 顶点在原点，可设为y=ax2；2. 对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y=ax2+k；3. 顶点在x轴上，可设为y=a(x－h)2；4. 抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.
(2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程或方程组；(3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值；(4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式.
如图26.2-19，抛物线y=ax2+bx+c 经过A(－1，0)，B(0，－3)，C(3，0)三点.
解题秘方：紧扣利用待定系数法求二次函数表达式的步骤，设出一般式解决问题.
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若该抛物线的顶点为D，求sin∠BOD 的值.
1-1. 已知一个二次函数的图象经过在平面直角坐标系中一个正方形ABCD 的两个顶点C，D 和原点，如图，正方形的顶点A，B 在x 轴正半轴上， 顶点C，D在第一象限，且正方形的边长为3，点A 的坐标为(1，0)， 求这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.由题意和正方形的性质知C，D两点的坐标分别为(4，3)，(1，3)，而这个二次函数的图象过点C，D和原点，故有
已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－2，3)，且图象与y 轴的交点在y 轴正半轴上距原点4 个单位处，求这个二次函数的表达式.
解题秘方：紧扣已知的顶点坐标设出顶点式，用待定系数法求出函数的表达式.
2-1. 如图， 直线y =－x－2 交x 轴于点A，交y 轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点为A，且经过点B.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：对于直线 y＝－x－2，令x＝0，则y＝－2，∴点B的坐标为(0，－2).令y＝0，则x＝－2，∴点A的坐标为(－2，0).设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－h)2＋k.
已知抛物线与x 轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且抛物线经过点C(2，8). 求该抛物线对应的函数表达式.
解题秘方：紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式.
解：∵抛物线与x 轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，∴可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x+2)(x－1).又∵抛物线经过点C(2，8)，∴把点C 的坐标代入y=a(x+2)(x－1)中，得8=a(2+2)×(2－1)，∴ a=2 .∴抛物线对应的函数表达式为y=2(x+2)(x－1)，即y=2x2+2x－4.
3-1. [中考·常德] 如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)， 且对称轴为直线x=2．
(1)求此抛物线的表达式；
解：∵抛物线过点O(0，0)，且对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(4，0). 设抛物线的表达式为y＝ax(x－4)，把A(5，5)的坐标代入，得5a＝5，解得a＝1，∴此抛物线的表达式为y＝x(x－4)＝x2－4x.
(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△ OAB的面积为15 时，求点B的坐标.
解：∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B(2，m)(m＞0).设直线OA的表达式为y＝kx，把A(5，5)的坐标代入，得5k＝5，解得k＝1，∴直线OA的表达式为y＝x，
根据实际问题求二次函数表达式的步骤：(1)先通过已知条件确定抛物线所经过的点的坐标；(2)根据题意设出合适的二次函数表达式；(3)用待定系数法和方程思想求出待定系数的值，从而确定二次函数的表达式.
特别提醒利用二次函数解决实际问题时，要灵活利用二次函数的性质，另外还要注意自变量的取值范围.
一施工队对某隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线的一部分，其最大高度为7 米，底部宽度OE 为14 米，如图26.2-20 所示，以点O 为原点，OE 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.
解题秘方：先用待定系数法求出函数表达式，再利用表达式表示出有关点的坐标和所求量，进而求出函数的最值.
(1)写出顶点M 的坐标并求出抛物线的表达式；
(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“ 脚手架”ABCD，使C，D 两点在抛物线上，A，B 两点在地面OE 上，设OA 为x 米，“脚手架”的三根木杆AD，DC，CB 的长度之和为l 米，当x 为何值时，l 最大，最大值是多少？
4-1. 已知某桥主拱为抛物线形，在正常水位下测得主拱宽24 m，最高点离水面8 m，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(如图所示).
(1)求此桥拱所在抛物线对应的函数表达式.
(2)桥边有一艘高出水面4 m，顶部最宽处为16 m 的船，试问此船能否通过此桥拱？说明理由.