华师大版九年级下册2. 圆的对称性说课课件ppt

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圆的旋转不变性弧、弦、圆心角之间关系定理的推论圆的轴对称性垂径定理的推论
1. 圆的旋转不变性圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等. 实际上，在等圆中，上述关系定理也同样成立.
警示误区不能忽略在同一个圆中这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图27.1-8，两个圆的圆心相同，AB与A′B′对应的圆心角相等，但AB≠A′B′，AB ≠ A′ B′ .
3. 示例：弧、弦、圆心角的关系.如图27.1-7，∠AOB= ∠ A′OB′ AB = A′B′，AB=A′B′.
如图27.1-9，AB，CD 是⊙ O 的两条直径，弦CE ∥AB，求证：BC = AE .
解题秘方：构造圆心角，利用“相等的圆心角所对的弧相等”证明.
证明：如图27.1-9，连结OE.∵ OE=OC，∴∠ C= ∠ E.∵ CE ∥ AB，∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.∴∠ BOC= ∠ AOE. ∴BC = AE .
1-1. 如图，点C 是⊙ O上的点，CD ⊥半径OA于D，CE ⊥ 半径OB于E，且CD=CE，求证：AC = BC .
弧、弦、圆心角之间关系定理的推论
1. 推论(1)在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.(2)在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
2. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系在同一个圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.
拓宽视野在同一个圆中，四个量之间的关系可表示为
如图27.1-10，在⊙ O 中，AB = CD，则在① AB=CD；② AC=BD；③∠ AOC= ∠ BOD；④AC = BD中，正确的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间关系定理的推论判断.
解：∵AB = CD，∴ AB=CD，故①正确.∵AB = CD，∴AC = BD .∴ AC=BD，∠ AOC= ∠ BOD，故②③④正确.
2-1. 如图， 已知AB，CD 是⊙ O 的两条弦，OE，OF 分别为AB，CD 的弦心距， 如果AB=CD， 则可得出结论：_________________________. (至少填写两个)
OE＝OF，∠COD＝∠AOB(答案不唯一)
1. 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.(1)圆的对称轴有无数条.(2)“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”.
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
特别提醒1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线. 其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉了优弧.
可用几何语言表述为如图27.1-11，
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.
如图27.1-13，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线AB 上的两点，且AC=BD.求证：△ OCD 为等腰三角形.
解题秘方：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线的性质证明. 作垂直于弦的半径(或直径)或连半径，是常用的作辅助线的方法.
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图27.1-13.∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.∵ AC=BD，∴ CM=DM.又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.∴△ OCD 为等腰三角形.
4-1. 如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D． 若大圆的半径R=10， 小圆的半径r=8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长.
1. 推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
2. 示例：(1)如图27.1-14，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = CB，AD = DB .
(2)如图27.1-14，CD 是⊙ O 的直径，AB与CD 相交于点E，且AD = BD，那么CD 垂直于AB，并且AE=BE.
拓宽视野对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”
如图27.1-15，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.
证明：如图27.1-15，连结OM，ON，OA，OC.∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.∴∠ OMA= ∠ ONC=90°.∵∠ AMN= ∠ CNM，∴∠ OMN= ∠ ONM.∴ OM=ON.又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN.∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
如图27.1-16，要把残破的圆片复制完整. 已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹).
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心.
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆的圆心.
6-1. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C 在⊙ O 上，CD 垂直平分AB 于点D．现测得AB=8 dm，DC= 2 dm，则圆形标志牌的半径为 _______.
如图27.1-17，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径.
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.
7-1. 半圆形纸片的半径为2 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合，则折痕CD 的长为_______cm.