2023-2024学年京改版九年级下册第二十六章投影综合运用数学知识解实际问题单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年 京改版九年级下册 第二十六章 投影 综合运用数学知识解实际问题� 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．对“大衍求一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）等有深入研究，并利用三角形三边推出三角形的面积公式的是我国南宋的数学家（    ）A．刘徽 B．赵爽 C．祖冲之 D．秦九韶2．光在真空中传播的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要，地球与太阳的距离大约为（　　）A． B． C． D． 3．10个孩子分进4个班，则至少有一个班分到的学生人数不少于（    ）个．A．5 B．6 C．3 D．44．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（    ）A．14 B．15 C．16 D．175．公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得编写了《几何原本》．他在编写这本书时挑选一部分数学名词和公认的真命题（即公理）作为证实其他命题的出发点和依据，除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断，在此基础上，逐渐形成了一种重要的数学思想，这种思想是（    ）A．公理化思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．转化思想6．电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（参考数据：，，）（    ）A．32.5米 B．27.5米 C．30.5米 D．58.5米7．甲、乙、丙三家商店对一种定价相同的文具开展促销活动，甲商店一次性降价30%；乙商店连续两次降价15%；丙商店先降价20%后又降价10%．若小雪准备在促销活动中，购买此种文具，则下列说法中，正确的是（    ）A．小雪到甲商店购买这种文具更合算B．小雪到乙商店购买这种文具更合算C．小雪到丙商店购买这种文具更合算D．在促销活动中，三家商店的这种文具售价相同，小雪可任选一家购买8．数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论9．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（   ）种不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．210．有10个人去排队买电影票，已知电影票5元钱一张，这10个人中有5人拿了5元纸币，5人拿了10元纸币，且售票员开始手中没有钱，问能使得售票员能顺利找开钱的不同方法数是（    ）（每个人看成相同的，如果第一个拿了10元纸币，那么就找不开钱了）（    ）A．12 B．28 C．36 D．4211．京津冀一体化发展政策的落实给众多行业带来便利．某快递公司从北京发往河北的快递收费标准由原来的不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元，降低为现在的不超过1千克，收费8元；超过1千克的部分，每千克加收5元．小明计划从北京往河北邮寄一件4千克的物品，现在比原来少付费 元．12．去年以来，我区深入贯彻落实创新驱动发展战略，以政策为杠杆，撬动企业加大科技创新投入，激励企业在科创之路上再接再厉，助推企业实现更高质量发展，我区某公司对其A、B两款产品实施技术升级．去年12月该公司对A、B两种产品的价格以3∶4进行销售，今年1月，该公司B产品销量比去年12月B产品销量增加30％，而1月这两种产品的总销量比去年12月总销量多10％，经核算，1月销售总额比去年12月的销售总额多14％（A、B两种产品的销售价格均不变），则去年12月A、B两种产品销量的比值是 ．13．某游泳馆为吸引顾客，推出了不同的购买游泳票的方式．游泳票在使用有效期限内，支持一个人在一天内不限次数的进入到游泳馆进行游泳．游泳票包括一日票、三日票、五日票及七日票共四种类型，价格如下表：某人想连续6天不限次数的进入到游泳馆游泳，若决定从以上四种类型中购买游泳票，则总费用最低为 元．14．在数学上， 发明了微积分．他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献．15．观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个．16．商店将某种商品按原价的九折出售，调价后该商品的利润率是15%，已知这种商品每件的进货价为1800元，则每件商品的原价是 元．17．学期即将结束，王老师对自己任教的两个班（每个班均为人）的数学成绩进行质量检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．其中，成绩均为整数，满分分，成绩等级分为：优秀（80分及以上），良好（），合格（），不合格（60分以下）．（2）班中良好这一组学生的成绩分别是：，，，，，，，，，．根据以上信息，回答下列问题，(1)写出（2）班良好这一组成绩的中位数和众数；(2)已知（1）班没有人的成绩相同，则成绩是分的学生，在哪个班的名次更好些？请说明理由；(3)根据上述信息，推断______班整体成绩更好，并从两个不同角度说明推断的合理性．18．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题类型一日票三日票五日票七日票单价（元/张）50130200270评卷人得分三、问答题（1）班成绩数据平均数众数中位数优秀率人数评卷人得分四、证明题参考答案：1．D【分析】本题考查中国古代数学史，根据我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，可解答．【详解】解：利用三角形三边推出三角形的面积公式的是我国南宋的数学家秦九韶，故选：D．2．A【分析】先根据速度乘以时间求出路程，然后根据科学记数法表示即可求解．【详解】解：地球与太阳的距离大约为，故选A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握幂的运算是解题关键．3．C【分析】由抽屉原理，即可解决问题．【详解】解：，若每个班至少分到2个孩子，则还剩下2个孩子，则（人），∴至少有一个班分到的学生人数不少于3个，故选：C．【点睛】本题考查抽屉原理，关键是掌握抽屉原理的求平均法．4．B【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．【详解】解：设小红答对的个数为x个，由题意得，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．5．A【分析】根据各种数学思想的特点确定选项即可．【详解】A、公理化思想是指以某些命题为前提，只用它们，不用其他假设进行推理而建立数学理论的思想．故选项符合题意．B、数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的．故选项不符合题意．C、把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．故选项不符合题意．D、转化思想是将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归．故选项不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了公理化思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想的定义，了解掌握这些思想方法的含义是解题关键．6．C【分析】延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形即可得到答案．【详解】解：如图，延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，∴（米），∵山坡的坡度为1：0.75，∴设DF=3k，CF=4k，∴由勾股定理得：（米），∴（米），∴米，米，∴米，∵，∴米，∴米．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题和勾股定理，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．7．A【分析】设这种文具的原价为元，分别求出甲、乙、丙三家商店降价后的价格，由此即可得．【详解】解：设这种文具的原价为元，甲商店降价后的价格为（元），乙商店降价后的价格为（元），丙商店降价后的价格为（元），因为，所以小雪到甲商店购买这种文具更合算，故选：A．【点睛】本题考查了代数式，正确求出甲、乙、丙三家商店降价后的价格是解题关键．8．C【分析】根据ABCD的四种数学思想结合题目的条件即可判定求解．【详解】解：∵数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是，这种利用图形直观说明问题的方式A、B、D的说法显然不正确，∴本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法．故选：C．【点睛】本题考查的是数学思想方法，做这类题，可用逐个排除法，显然A、B、D所说方法不对．9．B【分析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．【详解】解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．故选：B．【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．10．B【分析】售票员能顺利找开钱，即买票过程中可以直接找零．【详解】解：由题意可知：第一个人一定拿了5元，最后一个人一定拿了10元，才会使售票员顺利找钱，否则一定不能，（1）前5个人都拿5元，（2）前4个人拿5元，第5个人拿5元的人插空，则有=5种，（3）前3个人拿5元，第4，5个拿5元的人插空，则有=10种，（4）前2个人拿5元，第3，4，5个拿5元的人插空，则有=10种，（5）前1个人拿5元，第2，3，4，5个拿5元的人插空，则有=5种，分别减去（2）（3）（4）中放在所有10前面的一种情况，即减去3种，则共有1+5+10+10+5-3=28种，故选B．【点睛】本题考查了排列组合，解题的关键是根据题意合理分情况讨论，并排除重合的情况，做到不重不漏．11．5【分析】分别求出两种收费标准下的费用，由此即可得．【详解】解：现在需要付费为（元），原来需要付费为（元），则现在比原来少付费（元），故答案为：5．【点睛】本题考查了有理数四则运算的应用，正确列出运算式子是解题关键．12．【分析】设去年12月A产品销量为a，B产品销量为b，根据1月销售总额比去年12月的销售总额多14%（A、B两种产品的销售价格均不变），列出关于a，b的方程，解方程可求去年12月A、B两种产品销量的比值．【详解】解：设去年12月A产品销量为a，B产品销量为b，依题意有：3[（1+10%）（a+b）-（1+30%）b]+4×（1+30%）b=（1+14%）（3a+4b），3（1.1a-0.2b）+5.2b=3.42a+4.56b，3.3a-0.6b+5.2b=3.42a+4.56b，0.12a=0.04b，a：b=0.04：0.12=，答：去年12月A、B两种产品销量的比值是，故答案为：．【点睛】本题考查了应用类问题，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．13．250【分析】分5种方案计算费用比较即可．【详解】解：连续6天不限次数的进入到游泳馆游泳方案一：买一日票6张，费用（元方案二：买一日票1张，五日票1张，费用（元方案三：买一日票3张，三日票1张，费用（元方案四：买三日票2张，费用（元方案五：买七日票1张，费用（元故方案二费用最低：（元故答案为：250．【点睛】本题考查了根据实际问题求最小值，解题的关键是需要分情况列出可能性．14．牛顿【分析】根据数学史中关于微积分的发展史即可得到答案．【详解】在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉．他也证明了广义二项式定理，提出了"牛顿法"以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献．【点睛】本题主要考查微积分发展史，掌握微积分的发展史是解决本题的关键．15．【分析】解决此题的关键是找到规律：每10个球一组；第1，4，5为实心球，第2，3，6，7，8，9，10个为空心球．【详解】解：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○．每个循环节里有3个实心球．我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数．∵2004÷10＝200……4，∴2004个球里有200个循环节，还余4个球．200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球．所以，一共有602个实心球．故答案是602．【点睛】本题主要考查了图形规律题，准确分析计算是解题的关键．16．2300【分析】设每件商品的原价是元，结合题意，列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】设每件商品的原价是元根据题意得： ∴ ∴ 故答案为：2300．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用；解题的关键是找准相等关系，正确列出相应的方程，从而完成求解．17．(1)中位数和众数分别是73.5、73(2)（2）班，理由见解析(3)（1），见解析【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得出答案；（2）分别确定成绩是分的学生在两个班级中的名次即可得出答案；（3）求出（2）成绩的中位数和优秀率，然后与（1）的中位数和优秀率比较得出答案．【详解】（1）（2）班良好这一组成绩的中位数是第、个数据的平均数，所以中位数，（2）班良好这一组成绩出现次数最多的是，所以众数是；（2）成绩是分的学生，在（2）班的名次更好，理由如下：∵（1）班成绩的中位数是，（1）班没有人的成绩相同，∴（1）班成绩是分的学生，名次最好可能是名，∵（2）班成绩是分的学生，名次是名，∴成绩是分的学生，在（2）班的名次更好；（3）（2）班成绩的中位数是第、个数据的平均数，所以（2）班成绩的中位数，（2）班的优秀率，，，∴（1）班成绩的中位数大于（2）班成绩的中位数，（1）班的优秀率大于（2）班的优秀率，∴（1）班整体成绩更好．故答案为：（1）．【点睛】本题主要考查了统计表，条形统计图，中位数及众数的意义，解题的关键是根据表格和统计图得出解题所需的数据，以及对中位数和众数意义的运用．18．(1)，(2)见解析(3)存在，【分析】（1）根据抛物线经过，，，代入抛物线的交点式，求出抛物线的解析式，进而求出抛物线的顶点坐标；（2）由矩形和菱形及正方形的性质与判定得出四边形为正方形；（3）过点作与轴夹角为的直线，交轴于点，过点作，垂足为，交于点，则，的最小值，即可求解．【详解】（1）∵抛物线过点，两点，∴设抛物线解析式为，∵，∴，∵这个抛物线与轴交于点，∴，∴，∴抛物线的解析式为：．∵，∴这个抛物线的顶点；（2）连接，，由（1）得：，∴，∵，，∴，∵，∴，∵∴，∴ ∴四边形为菱形，∵，∴四边形为正方形；（3）存在，理由：如图，点作与轴夹角为的直线，交轴于点，过点作，垂足为，交于点，则，的最小值，∵，，∴．∵，∴．∵，∴．∴∴的最小值为．【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及到二次函数的性质，矩形，菱形和正方形的判定，其中（3）点作与轴夹角为30°的直线，交轴于点，过点作，垂足为，交于点，则，是本题的难点．