初中数学苏科版七年级上册2.2 有理数与无理数学案

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知识精讲
知识点01 有理数的分类
按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：

【微点拨】
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【即学即练1】1．下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数B．正分数、负分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负分数D．所有的分数都是有理数
【答案】D
【分析】
按有理数的分类解答即可．
【详解】
解：、正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；
、正分数、负分数统称为分数，故本选项错误；
、零既不是正数也不是负数，故本选项错误；
、所有的分数都是有理数，故本选项正确；
故选：D．
知识点02 有理数
我们把能够写成分数形式（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
【微点拨】
有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．
（2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．
【即学即练2】2．对于，下列说法不正确的是（ ）
A．是负数，不是整数B．是分数，不是自然数
C．是有理数，不是分数D．是负有理数，且是负分数
【答案】C
【分析】
根据分数，整数，负数，自然数以及有理数的概念进行判断，得出结果．
【详解】
解：A、-3.271是负数不是整数，正确，
B、-3.271是分数不是自然数，正确，
C、3.271是有理数也是分数，故本选项错误，
D、-3.271是负有理数也是负分数，正确．
故选：C．
知识点03 无理数
1．定义：
无限不循环小数叫做无理数．
【微点拨】
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．
（2）目前常见的无理数有两种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，
如：1.313113111……．
2．有理数与无理数的区别
（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能．
【即学即练3】3．下列选项中，属于无理数的是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解：A.是无理数；
B.是分数，属于有理数；
C.是整数，属于有理数；
D.0是整数，属于有理数．
故选：A．
知识点04 循环小数化成分数
1．定义：
如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．
纯循环小数
从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、．．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．
例如 ，．
3． 混循环小数
如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、0．3456456…． 混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．
例如 ，，．
【微点拨】
（1）任何一个循环小数都可化为分数．
（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数
【即学即练4】4．在数0，，，，0.01010101，2.3%中，有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【分析】
分别根据实数的分类及有理数的概念进行解答．
【详解】
解：有理数有0，，，0.01010101，2.3%，共5个，
故选：A．
能力拓展
考法01 有理数的概念理解
(一)正数与负数
为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义，如零上温度、前进、收入、上升、高出海平面等规定为正的，而把与它相反的一种意义，如零下温度、后退、支出、下降、低于海平面等规定为负的．正的量用算术里学过的数表示，负的量用算术里学过的数前面放上“－”(读作负)号来表示．
如：零上5℃记作5℃(读作正5摄氏度)． 零下5℃记作－5℃(读作负5摄氏度)．
0既不是正数，也不是负数．
几点说明：
1、 0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。这样0不仅可以用来表示没有，也可以表示一个确定的量，例如0℃就不是没有温度的意思，0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度，0的意义已不仅仅是表示没有。
2、表示正数，负数的“＋”“－”号，是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号.
3、对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：―a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意数。若a表示正数时，―a是负数，若a表示负数时，―a是一个正数，而不是负数了。当a表示0时，―a就是在0前面加一个负号，仍是0，0不分正负。
【典例1】下列各数中是正整数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据正整数的概念即可得出结果．
【详解】
解：根据正整数的概念得出只有选项B，是正整数，符合题意．
故选：B．
考法02 有理数的分类
按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：

【典例2】下列说法中正确的是（ ）
A．正整数、负整数统称为整数B．正分数和负分数统称为分数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数D．一个有理数不是正数就是负数
【答案】B
【分析】
根据有理数的分类依次分析各项即可.
【详解】
A．正整数、负整数和0统称为整数，故错误；
B．正分数和负分数统称为分数，正确；
C．零既不是正数，也不是负数，故错误；
D．有理数不包含正数、负数和0，故错误；
故选B.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各数：，0，，，，，，2014，其中是负有理数的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】
根据负有理数的定义，对各个数化简后进行判断即可．
【详解】
∵=3是正有理数，0不是负有理数，+5=5是正有理数，=3.1是正有理数，2014是正有理数；而=-3.14是负有理数，是负有理数，=-16是负有理数，
∴负有理数的个数是3个，
故选：B．
2．下列实数3π，，0，，－3.15，，中，无理数有( )．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
详解：
实数3，，0，，－3.15，，中，无理数有3，，共计3个.
故选C.
3．下列说法：①带正号的数是正数，带负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上负号就是一个负数；③0是最小的正数；④大于0的数是正数；⑤0只表示没有．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②④C．①②④D．③⑤
【答案】B
【分析】
根据正负数的意义可判断①②④，根据0的意义可判断③⑤，进而可得答案．
【详解】
解：带正号的数不一定是正数，带负号的数也不一定是负数，所以①错误；
任意一个正数，前面加上负号就是一个负数，所以②正确；
0既不是正数，也不是负数，所以③错误；
大于0的数是正数，所以④正确；
0可以表示没有，也可以表示某种量的基准，所以⑤错误．
故选：B．
4．大于-3.5，小于2.5的整数的个数是（ ）
A．6B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】
求出大于-3.5，小于2.5的整数，然后可求解．
【详解】
解：大于-3.5，小于2.5的整数有-3，-2，-1,0,1,2，所以共有6个，
故选:A
5．面积为4的长方形中，长是宽的2倍，则宽为（ ）
A．整数B．分数C．有理数D．无理数
【答案】D
【分析】
设长方形的宽为x，则长为2x，根据长方形的面积公式列方程，求出x的值
【详解】
解：设长方形的宽为x，则长为2x，
所以，
所以．
解得：或（不合题意，舍去）
所以是无理数．
故选D．
6．下列语句：①无限小数不能转化为分数；②无理数分为正无理数、零、负无理数；③有限小数是有理数；④无限小数是无理数正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据无理数的定义、有理数的定义及分类逐一判断即可．
【详解】
无限循环小数可以转化成分数；0是有理数；无限循环小数是有理数，故①②④均错．
有限小数是有理数，故③对．正确的有1个，
故选B．
7．在有理数﹣（﹣3），，（﹣5）2，（﹣1）7，﹣32中，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
根据小于0的数是负数，对各项计算后得出负数的个数．
【详解】
解：−（−3）＝3，是正数；=，是负数；
（−5）2＝25，是正数；（−1）7＝−1，是负数；
−32＝−9，是负数．
所以负数有3个．
故选C．
题组B 能力提升练
1．下列说法正确的是（ ）
A．正数、0、负数统称为有理数B．分数和整数统称为有理数
C．正有理数、负有理数统称为有理数D．以上都不对
【答案】B
【解析】
本题考查的是有理数的分类
根据有理数的定义即可得到结果，正有理数、0、负有理数统称为有理数，故A、C错误，分数和整数统称为有理数，正确，故选B．
2．下列实数中，无理数是（ ）
A．B．－C．D．
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义即可求解．
【详解】
＝1.1，－＝－2，都是有理数，不是有理数，故选C．
3．下列实数中：、、、、、0.1010010001…（往后每两个1之间依次多一个0），无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
，整数，不是无理数；
、，分数，不是无理数；
、、0.1010010001…（往后每两个1之间依次多一个0），是无理数，共3个；
故选：B．
4．下列无理数中，在2与1之间的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题意根据无理数的定义，依次对各选项进行估算解答即可．
【详解】
解：−3＜＜−2，故选项A不合题意；
−2＜＜−1，故选项B符合题意；
1＜＜2，故选项C不合题意；
2＜＜3，故选项D不合题意．
故选：B.
5．在有理数0，2，－7，－5 ，3.14，－，－3，－0.75中，整数有________个，负分数有________个．
【答案】4 3
【分析】
根据有理数的分类进行解答即可．
【详解】
整数有：0，2，﹣7，﹣3，共4个；
负分数有：﹣5，，﹣0.75，共3个．
故答案为：4，3．
6．实数，，-8，，，中无理数有__________个．
【答案】3
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．
【详解】
解：根据无理数的定义可得，，是无理数，
答案为3.
7．在实数，，0，－π，，，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)中，有理数的个数为B，无理数的个数为A，则A－B＝_____．
【答案】-1
【分析】
根据无理数、有理数的定义即可得出A、B的值，进而得出结论．
【详解】
，﹣π，0.101 001 0001…（相邻两个1之间多一个0）是无理数，故A=3．
，0，是有理数，故B=4，∴A－B=3－4=－1．
故答案为：－1．
题组C 培优拔尖练
1．在实数﹣，，0，，﹣3.14，中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义，找出其中的无理数即可．
【详解】
解：在实数﹣，，0，，﹣3.14，中，无理数有，，共有2个；
故选：A．
2．在﹣3，，0，2四个数中，是负整数的是（ ）
A．﹣3B．C．0D．2
【答案】A
【分析】
根据有理数的分类进行分析即可求解．
【详解】
解：-3是负整数，为负分数，0为整数，2为正整数
故选：A．
3．在，3.33，，，0.04445555⋯，，127，中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：，0.04445555⋯,共3个无理数
故选B.
4．下面关于“0”的叙述，正确的有( )
①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
根据0不是正数也不是负数，是自然数，是整数，是有理数的知识点找到正确选项即可．
【详解】
①0是正数与负数的分界，正确；
②0比任何正数都小，正确；
③在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数的分界等，故错误；
④0还常用来表示某种量的基准，正确．
正确的有3个．
故选C．
5．下列各数中，为负数的是（ ）
A．0.B．−-2C．−−1D．−12
【答案】B
【分析】
根据小于0的数叫做负数解答即可．
【详解】
A、0，不是负数，故本选项不符合题意；
B、−-2=-2是负数，故本选项符合题意；
C、−−1=1是正数，故本不符合题意；
D、−12=12是正数，故本选项不符合题意．
故选B．
6．实数38，0，−35?，9，−13，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（ ）
A．4B．2C．1D．3
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义，可得答案．
【详解】
在实数38，0，−35?，9，−13，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：−35?，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共2个．
故选B．
7．下列实数中，是有理数的是（ ）
A．B．2.020020002C．D．π
【答案】B
【分析】
根据有理数和无理数的定义可得答案．
【详解】
是无理数， 2.020020002是有理数．
故选B．课程标准
课标解读
理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念．
会判断一个数是有理数还是无理数．
1、区分有理数与无理数，知道无理数是客观存在的。感受夹逼法，估算无理数的大小。
2、会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程。