苏科版七年级上册3.1 字母表示数学案设计

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知识精讲
知识点01 字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba．
【微点拨】
运算定律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。用字母表示为：a + b=b + a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再把第三个数相加，或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。用字母表示为：（a+b）+c=a+（b+c）
3、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
用字母表示为：a×b=b×a
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变。用字母表示为：（a×b）×c=a×（b×c）
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把这两个数分别同这个数相乘，再把所得的积加起来，结果不变。用字母表示为：（a + b）×c=a×c + b×c
6、在含有字母的式子里，乘号可以记作小圆点，也可以省略不写。如：X×2或2×X都可以记作2·X或2X，但要注意在省略乘号的时候要把数写在字母的前面。
7、1与任何字母相乘时，1可以省略不写，如1×b，或b×1，都可以记作b。
8、字母和字母相乘，中间的乘号也可以记作小圆点，或省略不写。如a×b，记作a·b或ab。两个相同的字母相乘，如b×b，可以记作b ，读作b的平方。
9、只有字母与字母之间、数字与字母之间的乘号才能省略不写。在省略乘号时，应当把数字写在字母前面。
【即学即练1】1．a名同学参加体育测试，其中60%的过关，则不过关的有（ ）
A．60%a名B．6%名C．1−60%?名D．?1−60%名
【即学即练2】2．“比a的5倍小3的数”用代数式表示是（ ）
A．5?+3B．5?−3C．5?+3D．5?−3
【即学即练3】3．如果甲数为x，且甲数为乙数的3倍，那么乙数是（ ）
A．13?B．3xC．?+3D．?+13
能力拓展
考法01 列代数式
一、对代数式的概念可以从三个方面去理解：
（1）从具体的数到用字母表示数，是抽象思维的开始，体现了特殊与一般的辨证关系，用字母表示数具有简明、普遍的优越性；
（2）代数式中并不要求数和表示数的字母同时出现，单独的一个数和字母也是代数式。如：a、2都是代数式；
（3）代数式是用基本的运算符号数、表示数的字母连接而成的式子，一定要弄清一个代数式有几种运算和运算顺序。代数式不含表示关系的符号，如等号、不等号、大于小于符号等都不是代数式。
二、书写代数式的注意事项：
1、同一个字母，在不同的问题中可以代表不同的量；在同一个问题中，不同的量要用不同的字母来表示。
2、在不会引起误解的前提下，乘号可以用“•”来代替，或者省略不写，如a×b通常写成a•b或ab；数字通常写在字母的前面。
3、除法通常写成分数的形式，如a÷b通常写成1/b，ah÷2通常写成ah/2或1/2ah。
4、数字与数字相乘一般仍用乘号。
5、带分数与字母的积，带分数化为假分数。
6、含有加减运算的代数式需注明单位时，一定要把整个式子括起来。
三、列代数式的方法：
列代数式的关键要分析数量关系，能准确地把文字语言翻译成数学语言。
（一）、抓“的”字，分层列代数式。
例1 用代数式表示：f的11倍与２的和。
解析:本题有两个“的”字，因而可看成有两个层次。第一层，“f的11倍”用代数式表示为11f；第二层，“f的11倍与２的和”用代数式表示为11f+2。
特别注意：一般来说，一个“的”字就代表一个层次。抓住“的”字,按顺序分层地把语言文字翻译成数学式子——代数式。
二、抓“等量关系”，设“元”法。
例２ 用代数式表示:一个数的与这个数的和。
解析：我们可设这个数为Ｘ，根据等量关系可列代数式：
Ｘ＋Ｘ。
特别注意:对于较明确的等量关系,可用设“元”法列等式,再推导出所求的代数式。
三、抓关键词，正确理解字母表示的意义。
例３ 某水库周一水位为a米，周五下降了５米，周五水位可表示为。
例３中的关键词是“下降”, 水位由a米下降了5米可表示为(a-5) 米。
特别注意：分析语句所表达的数量关系时，除了要注意“和、差、倍、分”以及“大、小、多、少、增加、减少、上升、下降、高、低”等词语的意义外，还应弄清楚语句中的数量关系是以哪个为基准，同学们应认真审题，抓住这些关键词，确定它们的数量关系，列出代数式。
四、利用相关知识，列出代数式。
例４ 如图，一枚古币的正面是一个半径为r厘米的圆形，中间有一个边长为a厘米的正方形孔，则这枚古币正面的面积为 。
解析：根据圆和正方形的面积公式,圆的面积为π r平方厘米，正方形的面积为a平方厘米，因此这枚古币正面的面积为(π r-a)平方厘米。
特别注意：要正确列出代数式，应熟练掌握相关的数学知识，如(1)常见几何图形的周长、面积、体积公式，加法、乘法运算律；(2)实际问题，如打折问题、利润问题、储蓄问题、工程问题、行程问题中的数量关系；(3)数字问题，如a表示整数，则2a表示偶数，2a+1或2a-1表示奇数。
因此我们在列代数式时，应按下述规律列代数式：
①列代数式，要以不改变原题叙述的数量关系为准(代数式的形式不唯一)；
②要善于把较复杂的数量关系，分解成几个基本的数量关系；
③把用日常生活语言叙述的数量关系，列成代数式，是为今后学习列方程解应用题做准备。
【典例1】青岛市2018年6月份某一天的温差为12℃，最高气温为t℃，则最低气温可表示为（ ）
A．12+?℃B．12−?℃C．?−12℃D．−?−12℃
考法02 用代数式表示数、图形的规律
一、巧妙分组
例1、如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方案摆下去,当每边上摆根火柴棒时,共需要摆________根火柴棒.
解析：以每三个为一组，构成一个三角形。而第2个图中，有2层，共1+2=3个三角形；第3个图中，有3层，共1+2+3=6个三角形；……，第个图中，有层，共1+2+3+…+=个三角形，则共需根火柴棒。
评注： 巧妙地把构成图形的线段进行分组，则可准确计算得各个图形中线段的条数。
三、拼接图形
例3（2006年荆州市）用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是 。
n=1
n=2
n=3
……
解析：从所给的图形看，每个图形可以看作是，依次在前面的一个图形的基础上拼接而得：=1时，有3个；=2时，有3+4=7个；=3时，有3+4×2=11个；…，由此可知，第个图形中正方形的个数是：3+4（-1）=4-1。
评注：当图形遵循一定的规则往后延续时，可以把它看成是一个固定的“单元”依次拼接，而这个“单元”就是探求规律的突破口。
四、分层考察
例4（青岛市）如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的
小立方体共有 个．
解析：根据图形特征，分层考察：图①中，下层有4个；图②中，下面二层有4×2个，而最上面一层中，两个面的交界处有4个，共（4×2+4×1）个；图③中，下面三层各有4个，最上面一层中，两个面交界处有4×2个，共有（4×3+4×2）个，依次类推，第个图形中的个数有：4+4（-1）=8-4（个）
评注：对于方块问题，进行分层考察，行之有效，其中蕴含着分类讨论的数学思想。
【典例2】用棋子按下面的规律摆图形，则摆第2018个图形需要围棋子（ ）枚．
A．6053B．6054C．6056D．6060
分层提分
题组A 基础过关练
1．日历表中竖列上相邻三个数的和一定是（ ）．
A．3的倍数B．4的倍数C．7的倍数D．不一定
2．小刚从一列火车的第节车厢数起，一直数到第节车厢，他数过的车厢节数是（ ）
A．B．C．D．
3．“五一”小长假期间，某公园的门票价格是：成人10元，学生5元．某旅行团有成人人，学生人，该团应付的门票为（ ）
A．元B．元C．元D．元
4．三个连续奇数排成一行，第一个数为x，最后一个数为y，且用下列整式表示中间的奇数时，不正确的一个是
A．B．C．D．
5．一个两位数是a，在它的左边加上一个数字b变成一个三位数，则这个三位数用代数式表示为（ ）
A．10a+100b B．ba C．100ba D．100b+a
6．a＋1的相反数是( )
A．－a＋1B．－a－1C．a－1D．
7．七年级(1)班总人数为m人，女生人数是男生人数的，则男生人数为( )
A．m人B． m人C．m人D．m人
5．若三个连续整数中，n是最大的一个，则最小的数为________．
6．按规律填空：a，-2a2，3a3，-4a4…则第10个为____.
7．一件衣服原来标价x元，现在打九折销售，现在的价格为_____元．
题组B 能力提升练
1．七年级一班有x个同学，若每4个人为一个学习小组，则有一个学习小组少1人，用代数式表示这个班分成的学习小组组数是（ ）
A．B．C． +1D．-1
2．“比m的大3的数”用代数式表示是( )
A．m－3B．mC．2m＋3D．m＋3
3．我国为了解决药品价格过高的问题，决定大幅度降低某些药品价格，其中将原价为a元的某种常用药降低60%，则降低后的价格为（ ）
A．元B．元C．0.4a元D．0.6a元
4．一个两位数，个位数字为，十位数字为，则这个两位数为
A．B．C．D．
题组C 培优拔尖练
1．观察下列一组图形中点的个数的规律，第个图中点的个数是（ ）
A．49B．67C．88D．112
2．用同样多的钱，买一等毛线，可以买3千克；买二等毛线，可以买4千克，如果用买a千克一等毛线的钱去买二等毛线，可以买（ ）
A．a千克B．a千克C．a千克D．a千克
3．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点0出发，，按如图所示方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则蚂蚁从点到点的移动方向为（ ）
A．向左B．向右C．向上D．向下
4．如图是一个数形图的生长过程，自上而下一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是（ ）
A．13B．21
C．27D．29
5．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（ ）
A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角
C．第505个正方形的右上角D．第505个正方形的左上角
6．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则代数式的值为（ ）
A．1B．3C．D．3或
7．观察算式，探究规律：
当n=1时，S1=13=1=12；
当n=2时，?2=13+23=9=32 ；
当n=3时，?3=13+23+33=36=62；
当n=4时，?4=13+23+33+43=100=102；…
那么Sn与n的关系为（ ）
A．14?4+12?3 B．14?4+12?2 C．14?2(?+1)2 D．12?(?+1)2
课程标准
课标解读
1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；
2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；
3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；
4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系．
1、体会用字母表示数的意义,初步建立用字母表示数的观念。
2、会用含有字母的式子表示数量和数量关系。