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初中数学7.4 认识三角形学案设计
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这是一份初中数学7.4 认识三角形学案设计，文件包含苏科版七年级数学下册同步精品讲义74认识三角形教师版docx、苏科版七年级数学下册同步精品讲义74认识三角形学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共44页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
1. 同位角的概念
1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
在下图中，线段AB，BC，CA是三角形的边.点A，B，C是三角形的顶点.∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2.三角形的表示：三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
3.△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
【即学即练1】如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出的边和角．
（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？
【即学即练2】如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．
（1）图中有几个三角形；
（2）求证：AB+AC＞PB+PC．
（1）三角形的高
（2）三角形的中线
（4）三角形的角平分线
【微拓展】“三线”的交点
一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在直线都分别相交于一点.
【即学即练3】如图，在△ABC中，，于点D，平分交、于点F、E．
（1）求的度数；
（2）说明：．
（3）若、，、、的面积分别表示为、、，且，则______（仅填结果）．
能力拓展
考法01 三角形三边关系的应用
【典例1】如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
考法02 三角形三线的有关计算
【典例2】如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全；
（2）画出边上的高线；
（3）画出边上的中线；
（4）在平移过程中，线段扫过的面积为______．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ）
A．15，10，7B．4，5，10C．3，8，5D．1，1，2
2．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形B．长方形C．正方形D．直角三角形
3．如果三角形的两边长分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）
A．6B．7C．5D．8
4．已知三角形的两边长分别为3cm和6cm，则这个三角形的第三边长可以是（ ）
A．1cmB．3cmC．6cmD．9cm
5．如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中正确的是（ ）
A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△ABC中，GC是BC边上的高
C．△GBC中，CF是BC边上的高D．△GBC中，GC是BG边上的高
6．如图，图中的三角形共有（ ）个．
A．B．C．D．
7．如图，在中，已知，边cm，cm，点为边上一动点，点从点向点运动，当点运动到中点时，的面积是（ ）cm2．
A．5B．10C．20D．40
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（ ）
A．25°B．35°C．50°D．70°
9．如图，△ABC中，，分别是，的中点，若△ABC的面积是10，则的面积是（ ）
A．B．3C．D．5
10．如图所示，△ABC为钝角三角形，则边AC上的高是（ ）
A．ADB．AEC．BFD．CH
题组B 能力提升练
1．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（ ）
A．10B．8C．7D．5
2．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为，则△BEF（阴影部分）的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的三条中线必交于一点B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部D．三角形的高线都在三角形的内部
4．如图，和是△ABC的中线，与交于点下列结论正确的有（ ）个．
（1）
（2）
（3）S四边形DOEC
A．个B．个C．个D．个
5．如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．16
6．在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（ ）
A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形
B．三角形的内角和是180°
C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角
D．三角形任意两边之和大于第三边
7．如图， D、E 分别在ABC 的边 BC、AC 上，，，CD 1 ，CE 1 ，AC ， AD 与 BE交于点O ，已知ABC 的面积为 12，则ABO 的面积为（）
A．4B．5C．6D．7
8．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）
A．10B．11C．12D．13
9．判断下列命题正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补B．三角形的三条高都在三角形的内部
C．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
10．如图，在中，，，，，AD与CQ交于点N，BE与CQ交于点M，下面说法中正确的有（ ）个
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
题组C 培优拔尖练
1．已知△ABC中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．28C．35D．30
3．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过（ ）次操作．
A．4B．5C．6D．7
4．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点.下列结论：①；②；③平分；④.其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在△ABC，AD 是角平分线，AE 是中线，AF 是高．如果BC＝10cm，那么 BE＝_____；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠DAF＝_____°．
6．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出之间的数量关系：_______________﹔
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数___________个；
（3）如果图2中，若，试求的度数
（4）如果图2中，和为任意角，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）
7．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由．
8．（教材呈现）如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容．
请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．
（结论应用）
（1）如图②，在△中，∠＝60°，平分∠，平分∠，求∠的度数．
（2）如图③，将△的∠折叠，使点落在△外的点处，折痕为．若∠＝，∠＝，∠＝，则、、满足的等量关系为 （用、、的代数式表示）．
课程标准
课标解读
理解三角形及其中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性
1.认识三角形的概念及其表示；
2.掌握三角形的三边关系定理；
3.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念；
文字语言
数学语言
理论依据
应用
三角形两边的和大于第三边
在△ABC中，a+b>c；
b+c>a;a+c>b
两点之间，线段最短
(1)判断三条线段能否组成三角形
(2)已知三角形的两边，求第三边的取值范围
三角形两边的差小于第三边
在△ABC中，a-bb-c定义
几何表达形式
从三角形的一个顶点向它所 对的边画垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高
AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
定义
几何表达形式
连接三角形的一个顶点 和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线
AD是△ABC的边BC上的中线或 BD = DC = 12 BC或BC=2BD=2DC或 D为BC的中点
定义
几何表达形式
三角形的一个角的平分线与这
个角的对边相交，这个角的顶点
和交点之间的线段叫做三角形
的角平分线
AD是△ABC的角平分线或
∠1=∠2=12∠???
线的名称
线的位置
交点名称
中线
三条中线交于三角形内部
重心
角平分线
三条角平分线交于三角形内部
内心
高
锐角三角形：三条高都在三角形内部
垂心
直角三角形；其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角形外部
目标导航
知识精讲
1. 同位角的概念
1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
在下图中，线段AB，BC，CA是三角形的边.点A，B，C是三角形的顶点.∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2.三角形的表示：三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
3.△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
【即学即练1】如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出的边和角．
（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？
【即学即练2】如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．
（1）图中有几个三角形；
（2）求证：AB+AC＞PB+PC．
（1）三角形的高
（2）三角形的中线
（4）三角形的角平分线
【微拓展】“三线”的交点
一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在直线都分别相交于一点.
【即学即练3】如图，在△ABC中，，于点D，平分交、于点F、E．
（1）求的度数；
（2）说明：．
（3）若、，、、的面积分别表示为、、，且，则______（仅填结果）．
能力拓展
考法01 三角形三边关系的应用
【典例1】如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
考法02 三角形三线的有关计算
【典例2】如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全；
（2）画出边上的高线；
（3）画出边上的中线；
（4）在平移过程中，线段扫过的面积为______．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ）
A．15，10，7B．4，5，10C．3，8，5D．1，1，2
2．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形B．长方形C．正方形D．直角三角形
3．如果三角形的两边长分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）
A．6B．7C．5D．8
4．已知三角形的两边长分别为3cm和6cm，则这个三角形的第三边长可以是（ ）
A．1cmB．3cmC．6cmD．9cm
5．如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中正确的是（ ）
A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△ABC中，GC是BC边上的高
C．△GBC中，CF是BC边上的高D．△GBC中，GC是BG边上的高
6．如图，图中的三角形共有（ ）个．
A．B．C．D．
7．如图，在中，已知，边cm，cm，点为边上一动点，点从点向点运动，当点运动到中点时，的面积是（ ）cm2．
A．5B．10C．20D．40
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（ ）
A．25°B．35°C．50°D．70°
9．如图，△ABC中，，分别是，的中点，若△ABC的面积是10，则的面积是（ ）
A．B．3C．D．5
10．如图所示，△ABC为钝角三角形，则边AC上的高是（ ）
A．ADB．AEC．BFD．CH
题组B 能力提升练
1．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（ ）
A．10B．8C．7D．5
2．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为，则△BEF（阴影部分）的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的三条中线必交于一点B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部D．三角形的高线都在三角形的内部
4．如图，和是△ABC的中线，与交于点下列结论正确的有（ ）个．
（1）
（2）
（3）S四边形DOEC
A．个B．个C．个D．个
5．如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．16
6．在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（ ）
A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形
B．三角形的内角和是180°
C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角
D．三角形任意两边之和大于第三边
7．如图， D、E 分别在ABC 的边 BC、AC 上，，，CD 1 ，CE 1 ，AC ， AD 与 BE交于点O ，已知ABC 的面积为 12，则ABO 的面积为（）
A．4B．5C．6D．7
8．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）
A．10B．11C．12D．13
9．判断下列命题正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补B．三角形的三条高都在三角形的内部
C．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
10．如图，在中，，，，，AD与CQ交于点N，BE与CQ交于点M，下面说法中正确的有（ ）个
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
题组C 培优拔尖练
1．已知△ABC中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．28C．35D．30
3．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过（ ）次操作．
A．4B．5C．6D．7
4．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点.下列结论：①；②；③平分；④.其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在△ABC，AD 是角平分线，AE 是中线，AF 是高．如果BC＝10cm，那么 BE＝_____；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠DAF＝_____°．
6．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出之间的数量关系：_______________﹔
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数___________个；
（3）如果图2中，若，试求的度数
（4）如果图2中，和为任意角，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）
7．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由．
8．（教材呈现）如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容．
请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．
（结论应用）
（1）如图②，在△中，∠＝60°，平分∠，平分∠，求∠的度数．
（2）如图③，将△的∠折叠，使点落在△外的点处，折痕为．若∠＝，∠＝，∠＝，则、、满足的等量关系为 （用、、的代数式表示）．
课程标准
课标解读
理解三角形及其中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性
1.认识三角形的概念及其表示；
2.掌握三角形的三边关系定理；
3.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念；
文字语言
数学语言
理论依据
应用
三角形两边的和大于第三边
在△ABC中，a+b>c；
b+c>a;a+c>b
两点之间，线段最短
(1)判断三条线段能否组成三角形
(2)已知三角形的两边，求第三边的取值范围
三角形两边的差小于第三边
在△ABC中，a-b
几何表达形式
从三角形的一个顶点向它所 对的边画垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高
AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
定义
几何表达形式
连接三角形的一个顶点 和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线
AD是△ABC的边BC上的中线或 BD = DC = 12 BC或BC=2BD=2DC或 D为BC的中点
定义
几何表达形式
三角形的一个角的平分线与这
个角的对边相交，这个角的顶点
和交点之间的线段叫做三角形
的角平分线
AD是△ABC的角平分线或
∠1=∠2=12∠???
线的名称
线的位置
交点名称
中线
三条中线交于三角形内部
重心
角平分线
三条角平分线交于三角形内部
内心
高
锐角三角形：三条高都在三角形内部
垂心
直角三角形；其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角形外部
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