初中数学11.5 用一元一次不等式解决问题习题

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知识精讲
知识点 用一元一次不等式解决问题
一元一次不等式的应用：审题设未知数找不等关系列不等式解不等式检验回答。
【微点拨】
①利用一元一次不等式解应用题的关键是找不等关系.
②列不等式解决实际问题时，求出不等式的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数.
③列一元一次方程与列一元一次不等式解应用题的步骤比较
【即学即练1】在新型冠状病毒疫情影响下，武汉医疗物资紧缺，某机构派甲、乙两种运输车共10辆．已知甲种运输车载重，乙种运输车载重，运往武汉的救援物资不少于，则甲种运输车至少应安排多少辆？
【答案】甲种运输车至少应安排6辆．
【分析】设应安排甲种运输车x辆，则安排乙种运输车（10−x）辆，根据运往武汉的救援物资不少于91t，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】解：设应安排甲种运输车x辆，则安排乙种运输车（10−x）辆，
依题意得：10x＋8（10−x）≥91，
解得：x≥．
又∵x为整数，
∴x的最小值为6．
答：甲种运输车至少应安排6辆．
【即学即练2】现用甲、乙两种运输车将46吨救灾物资运往灾区，甲种车每辆载重5吨，乙种车每辆载重4吨，安排车辆不超过10辆，在每辆车都满载的情况下，甲种运输车至少需要安排多少辆．
【答案】甲种运输车至少需要安排6辆
【分析】设甲种运输车运输x吨，则乙种运输车运输（46-x）吨，根据两种运输汽车不超过10辆建立不等式求出其解，就可以求出甲种车运输的吨数，从而求出结论．
【解析】解：设甲种运输车运输x吨，则乙种运输车运输(46-x)吨，
根据题意，得：≤10，
去分母得：4x+230-5x≤200，
-x≤-30，
x≥30，
则≥6．
答：甲种运输车至少需要安排6辆．
能力拓展
考法 用一元一次不等式解决问题
【典例1】某水果店以4元千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元．
(1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？
(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？
【答案】(1)水果店两次分别购买了800元和1400元的水果
(2)6元
【分析】（1）设该水果店两次分别购买了元和元的水果．根据“购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍”、“两次购进水果共花去了2200元”列出方程组并解答；
（2）设该水果每千克售价为元，则由“售完这些水果获利不低于1244元”列出不等式并解答．
【解析】(1)解：设该水果店两次分别购买了元和元的水果．根据题意，得
，
解得，
经检验，符合题意．
答：水果店两次分别购买了800元和1400元的水果．
(2)解：第一次所购该水果的重量为（千克）．
第二次所购该水果的重量为（千克）．
设该水果每千克售价为元，根据题意，得
．
解得．
答：该水果每千克售价至少为6元．
【典例2】沙坪坝区某街道为积极响应“开展全民义务植树40周年”活动，投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共70棵，且甲种树木单价、乙种树木单价每棵分别为90元，80元，共用去资金6000元．
(1)求甲、乙两种树木各购买了多少棵？
(2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好．该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了a%，乙种树木单价下降了a%，且总费用不超过6500元，求a的最大整数值．
【答案】(1)甲种树木购买了40棵，乙种树木购买了30棵
(2)a的最大值为25
【分析】（1）设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据总费用=单价×数量结合“购买了甲、乙两种树木共70棵，共用去资金6000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总费用=单价×数量结合总费用不超过6500元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）解：设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，
根据题意得：，
解得：，
答：甲种树木购买了40棵，乙种树木购买了30棵．
（2）根据题意得：90×（1+a%）×40+80×（1-a%）×30≤6500，
解得：a≤25．
答：a的最大值为25．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【分析】设要得奖至少应选对的题数是 道，则不选或错选的题数为 道，根据“选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，”列出不等式，即可解答．
【解析】解：设要得奖至少应选对的题数是 道，则不选或错选的题数为 道，根据题意得： ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴要得奖至少应选对 道．
故选：B．
2．一款皮大衣进价2000元，标价3000元，若商场要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则售货员出售此商品最低可打（ ）
A．六折B．七折C．八折D．九折
【答案】B
【分析】设售货员出售此商品可打折为 ，依据题意可列出关于的一元一次不等式，解出即可．
【解析】设售货员出售此商品可打折为 ，依据题意可得：
，
解得： ，
即售货员出售此商品最低可打七折．
故选：B
3．爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是90米（人员要撤到90米及以外的地方）已知人员撒离速度是6米/秒，导火索燃烧速度是8厘米/秒．假设爆破员从煤破点处开始撤离，为了确保安全，这次爆破的导火索至少为（ ）
A．118厘米B．120厘米C．122厘米D．124厘米
【答案】B
【分析】设这次爆破的导火索需要xcm才能确保安全，安全距离是90米（人员要撤到90米以外），根据人员撤离速度是6米/秒，导火索的燃烧速度是8厘米/秒，列不等式求解即可．
【解析】设这次爆破的导火索为x厘米才能确保安全．根据安全距离是90米（人员要撤到90米及以外的地方），可列不等式：
解得：
故选：B．
4．某超市开展促销活动，一次购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品．需买本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本元．钢笔每支元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔（ ）
A．支B．支C．支D．支
【答案】C
【分析】设该同学买了x支钢笔，根据题意列出不等式求解即可；
【解析】设该同学买了x支钢笔，根据题意可得：
，
解得：，
∵x为整数，
∴，
该同学至少买10支钢笔才能打折；
故答案选C．
5．把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，列出不等式正确的是（ ）
A．9x﹣7＜11xB．7x+9＜11xC．9x+7＜11xD．7x﹣9＜11x
【答案】C
【分析】设有x名同学，根据题意列出不等式解答即可．
【解析】解：设有x名同学，根据题意可得：9x+7＜11x，故选：C．
6．某商家出售某种商品，标价为元，比进价高出，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于（利润率=），则最多可降价（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】设可降价x元，根据利润率＝×100%结合售后利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】设可降价x元，
根据题意得：×100%≥20%，
解得：x≤120．
故选：D．
7．代数式的值小于1，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】由代数式的值小于1，列不等式，再解不等式即可得到答案.
【解析】解： 代数式的值小于1，
，

解得：
故答案为：
8．若表示负数，则需要满足的条件为____________．
【答案】
【分析】根据“表示负数”建立不等式，解不等式即可得．
【解析】解：由题意得：，
解得，
即需要满足的条件为，
故答案为：．
9．用不等式表示“x的2倍与3的差不小于0”_____．
【答案】2x﹣3≥0
【分析】x的2倍与3的差，表示为2x﹣3，不小于表示的意思是大于或等于，从而可得出不等式．
【解析】解：“x的2倍与3的差不小于0”，用不等式表示为2x﹣3≥0．
故答案为：2x﹣3≥0．
10．小红网购了一本数学拓展教材《好玩的数学》.两位小伙伴想知道书的价格，小红告诉他们这本书的价格是整数并让他们猜，小曹说:“至少元”，小强说:“至多元，小红说:“你们两个人都猜错了。从上述三人的对话中这本节的价格为_______________元.
【答案】21