黑龙江省哈尔滨市呼兰区2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市呼兰区2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了答题前，考生先将自己的“姓名”，选择题必须使用2B铅笔填涂，保持卡面整洁，不要折叠等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．
3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案）
1．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则与的周长比值是（ ）
A．2B．4C．D．
3．生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
4．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，AB为的直径，点C在上，且于点O，弦CD与AB相交于点E，若，则的度数为（ ）
A．20°B．30°C．25°D．35°
6．电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（ ）

A．I=B．I=-C．I=D．I=
7．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度是（ ）
A．B．C．D．
8．2023年是中国共产党建党102周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动，据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到万人，设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．某星期日上午10：00，小淇从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小淇离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间（千米）的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．小淇在咖啡店看书的时间是分钟B．小淇家与咖啡店的距离为4千米
C．小淇的步行速度是8千米/小时D．小淇从咖啡厅回到家用时分钟
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．点关于原点对称的点，则 ．
12．函数的自变量x的取值范围是 ．
13．反比例函数的图象经过点，则k的值为 ．
14．如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，若，，则等于 ．
15．二次函数的顶点坐标是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，若的面积为，则的面积为 ．
17．已知扇形的圆心角度数为，弧长为，则该扇形的半径为 ．
18．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和1红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，不放回．再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是 ．
19．矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则 ．
20．如图，在正方形中，点E，F分别是上的点，相交于点L，，G为上一点，H为的中点．若，，连接，则线段的长度为 ．
三、解答题：（共60分）
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出以为边的菱形，点E、F在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为．连接，请直接写出线段的长．
23．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．
(1)求出反比例函数的解析式与n的值；
(2)连接，求的面积．
24．如图1，已知四边形是菱形，点E在对角线上，点F在上，连接，，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接CE，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中四个角（除外），使写出的每个角都与相等．
25．某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用4800元购进A种科普书的数量是用1900元购进B种科普书数量的2倍．
(1)求A、B两种科普书每本进价各是多少元？
(2)该书店计划购进A、B两种科普书共60本，其中A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为85元，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1380元，则至少购进A种科普书多少本？
26．如图1，内接于，于点D．
(1)连接，，求证：；
(2)如图2，若点E为弧上一点，连接交于点F，若，，连接，求证：平分；
(3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连接，，若，，求线段的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线的顶点的坐标为与轴交点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线对称轴右侧抛物线上一点，连接，，，若设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，如图，对称轴交于点，轴交延长线于点，垂足为，连接交轴于点，在的延长线上取点，连接使，若，求点的坐标．
答案与解析
1．B
【分析】根据反比例函数的定义：“（为常数，）的函数称为反比例函数”进行判断即可．
【详解】解：A、为正比例函数，故本选项不符合题意；
B、，是与的反比例函数，故本选项符合题意；
C、是与不是反比例函数关系，故本选项不符合题意；
D、不符合反比例函数的定义，故本选项不符合题意，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了相似三角形的周长比与相似比的关系：相似三角形的周长比等于其相似比，熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：与的相似比为：，
故周长比为：
故选：D
3．D
【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
4．C
【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：C．
5．C
【分析】利用圆周角定理可求出，再利用三角形的外角的性质求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外角的性质等知识点，理解弦所对的圆周角为其圆心角的二分之一是解题的关键．
6．A
【分析】将已知的坐标代入反比例函数I＝中即可求出U.
【详解】解：∵当R＝20，I＝11时，
∴电压＝20×11＝220，
∴．
故选A．
【点睛】此题主要考查反比例函数的解析式，解题的关键是设反比例函数的解析式，再代入已知点求出解析式.
7．B
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：，，
，，
在与中，，，
，
，
即，
解得．
故选：B
8．A
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为人，则5月份的人数为，根据5月份的参观人数增加到万人，列一元二次方程即可．
【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．
9．C
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查从函数图象获取信息，旨在考查学生的理解能力，注意时间单位的换算．
【详解】解：根据函数图象可知：
小淇在咖啡店看书的时间是：（分钟），故A错误；
小淇家与咖啡店的距离为千米，故B错误；
小淇的步行速度是：千米/小时，故C错误；
∵跑步的速度是步行速度的2倍，
∴小淇的跑步速度是8千米/小时，
∴小淇从咖啡厅回到家用时：，
故D正确；
故选：D
11．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可．
【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点O中心对称的点的坐标为．
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
12．x＞-2
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行确定即可．
【详解】由题意得：，
解得：x>-2，
故答案为x>-2．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为0的条件是解题关键．
13．
【分析】本题考查求反比例函数的解析式．将代入即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】根据，，得到，根据，是的直径得到为的中点，根据勾股定理计算即可；
【详解】∵是的直径，弦，
∴为的中点，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确利用勾股定理计算是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，牢记的顶点为是解题关键．直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：的顶点坐标为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了位似图形，根据对应点坐标确定位似比是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴
∴
∴
∵的面积为，
∴的面积为：
故答案为：
17．5
【分析】本题主要考查了弧长公式，设该扇形的半径为r，根据弧长公式建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该扇形的半径为r，
由题意得，，
∴，
故答案为：5．
18．
【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】解：依题意画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球都是白球共有2种等可能的结果，
∴两次摸到的球都是白球的概率为，
故答案为：．
19．或
【分析】根据题意画出图形，分点在上和上两种情况讨论即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
如图所示，当点在上时，

∵，
∴
如图所示，当点在上时，

∵，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．
20．
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理等知识点．连接，证得，再证得，即可推出为的中位线，据此即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵H为的中点，
∴为的中位线
∴
∵，，
∴
∴
∴
故答案为：
21．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及了零指数幂和负整数指数幂，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
∵
∴原式．
22．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的判定，等腰三角形等知识．
（1）根据菱形的判定定理，分别在网格内作出线段，且点E、F都在格点上，连接，确保，问题得解；
（2）作线段，连接，确保，问题得解．
【详解】（1）解：如图，四边形即为求作的菱形；
证明：由作图可得：，
∴四边形为菱形；
（2）解：如图，即为求作的等腰三角形，线段的长为3；
证明：根据勾股定理得；
∴，
∴三角形为等腰三角形，周长为为．
23．(1)；
(2)3
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．
（1）将、代入反比例函数中即可求出、的值，即可解答；
（2）点、代入一次函数中即可求出一次函数函数的解析式；根据一次函数解析式求出点坐标即可根据三角形面积计算公式求出．
【详解】（1）由题意得：
∵点在反比例函数的图像上
∴．
∴反比例函数解析式为．
∵点在的图象上
∴．
（2）∵点、在的图象上
∴
解得
∴一次函数的解析式为．
当时，
∴
如图，过点D作于E
∴
∴的面积．
24．(1)见解析
(2)、、、
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键．
（1）由菱形的性质推出，，得到，又，得到，即可证明；
（2）由菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是菱形
∴，．
∴．
∵
∴
∵
∴
（2）、、、．
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
与相等角是、、、．
25．(1)A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元
(2)41本
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用：
（1）先设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，根据“用4800元购进A种科普书的数量是用1900元购进B种科普书数量的2倍”进行列方程，即可作答；
（2）先购进A种科普书a本，则B种科普书本，再把两本书的利润相加使总获利超过1380元，进行列方程，即可作答；
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，由题意得：
解得：．
经检验得是原分式方程的解，
答：A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元．
（2）解：设购进A种科普书a本，由题意得：
解得：
∵a为正整数
∴a的最小整数值为41．
答：至少购进A种科普书41本．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合，即可作答；
（2）先根据三角形的外角性质，得，等角对等边，得，即可证明，结合全等三角形的对应角相等，即可作答；
（3）根据同弧所对的圆周角是相等，得，由三角形的内角和，得，等角对等边，得，进而证明，得，等角对等边，得，故，因为，，证明，得，解得，由勾股定理建立式子，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）证明：设
∵，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴．
∴
∴OF平分．
（3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N
由（2）得，，
∴
∵
∴，
∵，且
∴，
∴，
∴．
∴
∵，
∴
∴，，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的辅助线是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）根据题意得，连接，作轴于，轴于，结合图形根据即可确定函数解析式；
（3）作于，过点作于点，延长交的延长线于点，作轴于点，根据全等三角形的判定和性质得出，再由待定系数法确定直线的解析式为，直线的解析式为，由函数交点问题即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
∴抛物线的解析式．
（2）解：∵为抛物线一点，点的横坐标为，
∴，
连接，作轴于，轴于，
∴，，
∴，
，
∴．
（3）解：∵轴，轴，
∴，
∴，
如图所示，作于，过点作于点，延长交的延长线于点，作轴于点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∴点的横坐标为，
∴，
∵过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∵延长交的延长线于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵作轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
设的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，面积问题及全等三角形的判定和性质，一次函数与二次函数交点问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．