山东省枣庄市薛城区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份山东省枣庄市薛城区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了考试时，不允许使用科学计算器，试卷分值等内容，欢迎下载使用。

请注意：
1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里．
2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写．
3．考试时，不允许使用科学计算器．
4．试卷分值：120分．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每
小题3分，共30分．
1．方程（m+2）+mx-8=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m=±2B．m=2C．m=-2D．m≠±2
2．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（ ）
A．8cmB．2cmC．4cmD．1cm
3．餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（ ）

A． B． C． D．
4．在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个B．15个C．18个D．20个
5．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角D．四边相等
6．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到，矩形沿对开（分别为的中点）后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）

A．B．C．0.618D．
7．枣庄某中学联谊会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小亮同学同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，下列条件之一能使是菱形的为（ ）

①；②平分；③；④；
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
10．如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为10；③；④的最小值是．

A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知，则的值等于 ．
12．如果是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ．
13．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了次手，设这次到会的有人，则可列方程为 ．
14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3，AC=2，则四边形ABCD的面积为 ．
15．如图，在中，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若两点同时出发，则当以点为顶点的三角形与相似时，运动时间为 s．
16．如图，在中，，把边长分別为的个正方形依次放入中，第1个正方形的顶点分别放在的各边上；第2个正方形的顶点分别放在的各边上；其他正方形依次放入，则第个正方形的边长为 ．

三、解答题（本题共8道大题，满分72分）
17．用你喜欢的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
18．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，为木杆在轴上的投影，，，过点作轴，垂足为点，交于点，求的长．

20．如图，在一块长11米，宽6米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是50平方米，则道路的宽应设计为多少米？

21．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．
任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为 ．
22．如图，O为原点，两点坐标分别为，．
(1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
(2)分别写出两点的对应点的坐标；
(3)已知为内部一点，写出的对应点的坐标．
23．已知，如图，在中，，垂足为是外角的平分线，，垂足为，连接交于．

(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论．
(2)线段与有怎样的关系？请写出并证明你的结论．
(3)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？简述你的理由．
24．如图，，，E是上一点，使得；
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由．
答案与解析
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义列式求解即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义可得：=2且m+2≠0，
解得：m=2．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．
2．B
【分析】根据比例线段定义求解，注意线段顺序；
【详解】解：由题意，得
∴．
故选：B
【点睛】本题考查成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键．
3．D
【分析】由物体上方向下做正投影得到的视图叫做俯视图，据此求解即可．
【详解】解：最上方的圆形桌面在俯视图中体现为一个大圆，因从上往下看时可见，所以用实线表示；
下方的圆形面及四个圆柱形桌腿在俯视图中体现为一个较大的圆和四个小圆，因从上往下看时不可见，所以用虚线表示；
观察四个选项可知，只有D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查三视图，解题的关键是掌握俯视图的定义，注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示．
4．C
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝12，
则白球有个；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．A
【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质进行综合比较分析即可得出答案．
【详解】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知，
它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，熟知平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查相似多边形的性质，矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比等于相似比的平方，可得的值．
【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴，
∴．
故选B．
7．C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列出表格，得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．
【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴B盘中红色扇形区域所占的圆心角是，相当于2个蓝色部分，
列出表格如下：
由表可知，一共有9种情况，
∵红色和蓝色可配成紫色，转到红色和蓝色的情况有3种，
∴他赢得游戏的概率，
故选：C．
8．D
【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解．
【详解】解：①，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
②平分，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
③，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
④，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
综上所述，由②③④可证得四边形是菱形．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，以及一元一次方程的解．分和两种情况求解即可．
【详解】解：当时，
∵方程有实数根，
∴，
∴；
当时，原方程变为，
∴，即方程有实数根．
综上可知，当，方程有实数根．
故选A．
10．B
【分析】由题意易得，，则有四边形是矩形，进而可得，，然后可判定①②，连接，则有，结合全等三角形的性质可判断③，要使为最小，则为最小，根据点到直线垂线段最短可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，故①符合题意；
∴，故②不符合题意；
连接，如图所示：

∵四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故③符合题意；
要使最小，则最小，则需满足，
∴此时为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∴，
∴的最小值为，故④不符合题意；
综上分析可知，正确的有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及矩形的判定与性质是解题的关键．
11．
【分析】由合比性质：若，则；据此即可求解．
【详解】解：，
；
故答案：．
【点睛】本题考查了合比性质，掌握性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．先利用根与系数的关系求出和的值，然后把通分后代入计算即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为x（x-1），根据一共握了66次手列出方程．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得x（x-1）=66．
故答案为x（x-1）=66．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
14．
【分析】先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴AC＝2AO＝2，BO＝＝，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×4＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．
15．3或4.8
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则．
①当D与B对应时，有，
∴，
∴，
∴；
②当D与C对应时，有．
∴，
∴，
∴．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3s或4.8s，
故答案为：3s或4.8s．
16．##
【分析】先由正方形的性质得到，，则，，即可推出，即，从而求出，同理可证，得到，即，推出，即可得到规律可以推出第n个正方形的边长为，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
同理可证，
∴，即，
∴，
同理可求得，
∴可以推出第n个正方形的边长为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质与判定条件．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
直接开平方得：，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．(1)随机
(2)
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．
【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．
19．的长为9
【分析】根据坐标得出，轴，、的值，根据相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：，．
轴，，
点，
，，
，
，
即，
，
即的长为9．
【点睛】本题考查中心投影，理解中心投影的意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．
20．道路的宽应设计为1米
【分析】设道路的宽应设计为，则栽种花草的部分可合成为，宽为的矩形，根据“栽种花草的面积是50平方米”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设道路的宽应设计为，则栽种花草的部分可合成为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
道路的宽应设计为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则 ，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论；
（2）若BD＝1，则 ，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC．
【详解】解：（1）∵BD⊥AB，
∴△ABD是直角三角形，
∵BD＝AB，
∴设则 ，
∴ ，
∵DE＝DB，AC＝AE，
∴ ，
∴
∴，
∴ ，
故C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则 ，
由（1）知，
∴，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．
22．(1)见解析
(2)点
(3)点的坐标为
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可直接得出答案．
（3）观察点的变化规律，可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，点．
（3）解：由题意得，点的坐标为．
【点睛】本题考查了位似图形的作图及性质，根据题意正确地作出已知图形的位似图形是解题的关键．
23．(1)四边形为矩形，证明见解析．
(2)，，证明见解析．
(3)当时，四边形是一个正方形，理由见解析．
【分析】（1）先证明，再结合矩形的判定方法可得结论；
（2）利用矩形的性质证明是的中点，结合三角形的中位线的性质可得结论；
（3）由已知四边形已经是矩形，只要添加的条件满足，从而可得结论．
【详解】（1）解：四边形为矩形．理由如下：
∵，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
四边形为矩形；
（2），，
理由是：四边形为矩形，对角线与相交于点，
是的中点，
∵，
是的中点，
为的中位线，
，．
（3）当时，四边形是一个正方形，理由如下：
且，
，
，
．
四边形为矩形，
矩形是正方形．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定，熟记矩形正方形的判定方法是解本题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)线段之间数量关系：，理由见解析．
【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型．
（1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可；
（2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论；
（3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论．
【详解】（1）证明：，，
，，
，，
，
，
．
（2）解：中，
，，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
．
（3）解：线段之间数量关系：，
理由是：如图，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
A盘
B盘
黄
红
蓝
蓝
（蓝，黄）
（蓝，红）
（蓝，蓝）
红
（红，黄）
（红，红）
（红，蓝）
红
（红，黄）
（红，红）
（红，蓝）