第一次月考卷02(测试范围：第16-17章)-2023-2024学年八年级数学上学期期末高效复习（沪教版，上海专用）

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一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，含有一个未知数，最高次数是二次的整式方程，对照选项逐一验证即可．
【解析】A．，是一元二次方程，故此选项正确；
B．是分式方程，故此选项错误；
C．，化简后是一元一次方程，故此选项错误；
D．不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
2．下列各组根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同，
【解析】A．和被开方数都是3，故A不符合题意；
B.和被开方数都是2，故B不符合题意；
C.和被开方数不同，故C符合题意；
D.和被开方数都是5，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．有三个方程：(1)，(2)，(3)，它们的公共根是（ ）
A．5B．-5C．1D．以上都不是
【答案】A
【分析】利用因式分解法求得①的解，然后分别代入②③两个方程即可判断它们的公共根．
【解析】解：x2-6x+5=0，
（x-5）（x-1）=0，
x-5=0或x-1=0，
∴x1=5，x2=1，
把x1=5，x2=1代入②③，x=5能使方程左右相等，
∴它们的公共根是5，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．聚会结束时，统计出一共握手55次，如果参加聚会的每个人都和其他的人握手1次，那么有（ ）人参加了聚会．
A．11B．12C．10
【答案】A
【分析】参加聚会的每个人都和其他的人握手1次，有人参加了聚会，每个人需要握次，考虑重复的情况，一共握手次，据此列方程求解即可．
【解析】解：设有人参加了聚会，根据题意列方程，
，
解得，，（舍去）
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握应用模型是解题的关键．
5．下列四个算式，其中一定成立的是（ ）
①＝a2+1；②＝a；③＝•（ab＞0）；④
A．①②③④B．①②③C．①③D．①
【答案】D
【分析】根据二次根式的两个性质：及即可完成解答．
【解析】由于，由性质可知①正确，②错误；
由于a、b及x+1、x-1均可为负，二次根式无意义，由性质知，③④均错误；
故只有①正确
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的两个性质，应用两个性质时一定要注意字母的取值范围．
6．若是不等于的任意实数,则方程总有一个根等于
A．1B．-1C．0D．2
【答案】B
【分析】将各选项的数分别代入方程，即可得出只有B选项符合题意，即得解.
【解析】解：根据题意，可得，
将A选项的1代入方程，得=0，不一定成立，不符合题意；
B选项的-1代入方程，得，使得方程一定成立，符合题意；
C选项的0代入方程，得，不一定成立，不符合题意；
D选项的2代入方程，得，不一定成立，不符合题意；
故答案为B.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法，关键是理解题意，直接代入较为简便.
二、填空题
7．化简：＝ ，＝ ．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘法法则对化简，二次根式的除法法则对进行化简．
【解析】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了化简最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
8．在中，最简二次根式是 ．
【答案】、
【分析】依题意最简二次根式的定义，进行一一对照化简即可；
【解析】由题知：最简二次根式需满足以下两个条件：
1．被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2；
2．被开方数中不含分母；
题目中所给的根式为：、、、、，其中、为被开方数中含分母，故不符合最简二次根式；为被开方数中有一个因数的指数等于2，故不符合最简二次根式；综上可知，最简二次根式为：、；
故填：、；
【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义和化简，关键在熟练化简方法；
9．计算： ．
【答案】
【分析】先用积的乘方逆运算进行变形，再根据二次根式与平方差公式进行求解即可．
【解析】，
=，
=，
=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了积的乘方逆运算，解题的关键是理解积的乘方逆运算，熟练掌握二次根式的化简与平方差公式的应用．
10．的有理化因式可以是 ，﹣3的有理化因式可以是 ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】根据二次根式的性质，即可求得有理化因式．
【解析】的有理化因式可以是 ，﹣3的有理化因式可以是
故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）
【点睛】本题考查了有理化因式，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
11．三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为 ．
【答案】12
【解析】试题分析：解方程，得，，
∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
12．如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由一元二次方程有实数根则解答．
【解析】解：∵方程有实数根，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13．把根号外的因式移到根号内：＝ ．
【答案】
【解析】解：∵-≥0，
∴a＜0，
∴=-（-a）•=-•=-=
故答案为：．
14．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为

【答案】
【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．
【解析】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，

设小路宽为x米，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
15．已知x＝3﹣2y，则＝ ．
【答案】
【分析】由x＝3﹣2y得，原式化简为，从而可求得值．
【解析】解：∵x＝3﹣2y
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题是化简求值问题，考查了二次根式的除法运算，二次根式的化简，求代数式的值，涉及整体思想，关键是二次根式的除法运算．
16．已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）=6，则x2+y2= ．
【答案】6
【分析】设x2+y2=m，把原方程转化为含m的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x2+y2的值．
【解析】设x2+y2=m，原方程可变形为：m(m﹣5)=6，
即m2﹣5m﹣6=0．
∴(m﹣6)(m+1)=0，
解得m1=6，m2=﹣1．
∵m=x2+y2≥0，
∴x2+y2=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．
17．定义新运算“※”，规则： ，如，．若的两根分别为，则 ．
【答案】3
【分析】先通过因式分解法解方程，求出，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解．
【解析】解：方程，
分解因式得：，
解得：或，
则或．
故答案为：3．
【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键．
18．已知b是正实数，a是b的小数部分，且a2+b2＝18，则a+b＝ ．
【答案】
【分析】根据已知条件确定的取值范围，进而表示出，根据完全平方公式变形可得的值
【解析】已知b是正实数，a是b的小数部分，且，
，
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数大小的估计，求得的范围，进而表示出是解题的关键．
三、解答题
19．计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质及二次根式的乘法逆运算进行化简计算，然后合并同类二次根式即可解答．
【解析】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与计算，熟记二次根式的运算法则和要求是解答的关键．
20．计算：．
【答案】．
【分析】先算括号里面的除法，再算括号外的乘法即可．
【解析】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，关键是熟练掌握二次根式的性质，掌握二次根式的乘除法法则．
21．计算
(1)
(2)（配方法）
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)
(4)，
【分析】（1）方程变形后直接利用开平方法求解；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用完全平方公式求解即可；
（4）移项后，利用提取公因式法解方程即可．
【解析】（1）解：∵
∴，
∴，
解得，；
（2）解：
移项，得，
方程两边同加上，得，
即，
，
解得，；
（3）解：，
即，
，
解得；
（4）解：∵，
∴，
，
∴，
∴或，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目中的要求和方程的特点选取适当的方法是解题的关键．
22．先化简，再求值：，其中x＝，y＝．
【答案】，．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【解析】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
23．设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．
【答案】（1）△ABC是等边三角形，理由见解析；（2）﹣12．
【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即Δ＝0，由Δ＝0可以得到一个关于a，b，c的方程，再结合方程3cx+2b＝2a的根为x＝0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系；
（2）根据（1）求出的a，b的值，可以得到关于m的方程，解方程即可求出m．
【解析】解：（1）∵有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即，则b﹣2c+a＝0．
∵方程3cx+2b＝2a的根为0，
∴a＝b．
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，且a＝b，
∴Δ＝m2﹣4（﹣3m）＝m2+12m＝0，
∴m＝0或m＝﹣12．
当m＝0时，a＝b＝0，不符合题意，应舍去；
当m＝﹣12时，a＝b＝6，符合题意．
综上所述m＝﹣12．
【点睛】此题考查了一元二次方程解的含义，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的含义，等边三角形的判定方法．
24．已知一元二次方程的两根为,求的根．
【答案】
【分析】首先令，转化原式的形式，同已知方程同根，再进行转化即可得出根.
【解析】解：令，则原式可化为
由已知条件，可得
∴
即方程的根为.
【点睛】此题主要考查利用整体代换法求解一元二次方程的根.
25．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【解析】解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
26．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简；
．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
（1）请任用其中一种方法化简：
①；
②为正整数）；
（2）化简：．
【答案】（1）①；②；（2）
【分析】（1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可；
（2）原式分母有理化后，合并即可得到结果．
【解析】解：（1）①原式；
②原式；
（2）原式．
【点睛】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．
27．如图所示，中，，，．

(1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？
(2)在（1）的运动情况下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
(3)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
【答案】(1)经过2秒或4秒，的面积等于
(2)线段不能将分成面积相等的两部分，理由见解析
(3)经过秒或5秒或秒后，的面积为
【分析】(1) 设经过秒，使的面积等于，解方程即可．
(2) 设经过秒，线段将分成面积相等的两部分，判断方程根的情况即可．
(3) 分类求解即可．
【解析】（1）设经过秒，使的面积等于，
依题意得：，
解得：，，
经检验，均符合题意．
即经过2秒或4秒，的面积等于．
（2）设经过秒，线段将分成面积相等的两部分，
依题意得：的面积，
的面积，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，
∴线段不能将分成面积相等的两部分．
（3）①点在线段上，点在线段上，
设经过秒，的面积为，依题意得：，
整理得：，解得：，，
经检验，不符合题意，舍去，
；
②点在线段上，点在射线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，经检验，符合题意．
③点在射线上，点在射线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，整理得：，
解得：，，
经检验，不符合题意，舍去，；
综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，根的判别式，分类思想，熟练掌握解方程和根的判别式是解题的关键．
28．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中为9个数中的最大数，且满足求P及的值．
【答案】(1)
(2)15
(3)，
【分析】（1）由题意可知，，解方程即可．
（2）由题意新三阶幻方是由图1生成的，可得中心数，幻和为：，进而可得，解方程即可．
（3）由数中最大的数，可得， ，，，根据，可得，由， 得，可得②由，得，进而得，则带入②得，求得，进而可求得， ，可得， ．
【解析】（1）由题意可知，，解得，
故答案为：4；
（2）解：由题意得：中心数，幻和为：，
又∵新三阶幻方的幻和为的4倍，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
即，
∴ ，
∴
（3）∵数中最大的数，
∴， ，，
∴，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴
又∵①
∴②
又∵，
∴即
∴，
∴带入②得
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴， ．
【点睛】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．