期中测试卷05（测试范围：第16-17章、19.1-19.5）-2023-2024学年八年级数学上学期期末高效复习（沪教版，上海专用）

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一、单选题
1．下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出与是同类二次根式即可得．
【解析】解：．
A、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
B、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
C、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
D、，与是同类二次根式，可以合并，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
2．方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．的值无法确定．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，绝对值的性质即可求解．
【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
∴，解得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义，绝对值的性质是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
（1）＝1.5﹣0.5＝1
（2）
（3）
（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质进行逐一化简判断即可得到答案．
【解析】解：（1），计算错误；
（2），计算错误；
（3），计算错误；
（4），计算正确；
∴计算正确的只有一个，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式化简的方法．
4．在下列四个命题中的逆命题中，是真命题的个数共有（ ）
①相等的角是对顶角；
②等腰三角形腰上的高相等；
③直角三角形的两个锐角互余；
④全等三角形的三个角分别对应相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】分别写出个命题的逆命题，即可求解．
【解析】解：①逆命题为对顶角相等，是真命题；
②有两边上的高相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
③有两角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
④有三个角相等的两个三角形全等，是假命题；
所以逆命题中，是真命题的个数共有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，写出逆命题，等腰三角形的判定，全等三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的性质等知识是解题的关键．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠ACB＝∠AEDB．∠BAD＝∠CAE
C．∠ADE＝∠ACED．∠DAC＝∠CDE
【答案】D
【分析】利用旋转的性质直接对A选项进行判断；利用旋转的性质得，再利用角的和差可得，则可对B选项进行判断；利用旋转的性质得，然后根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到，则，则可对C选项进行判断；先判断，而不能确定等于，则可对D选项进行判断．
【解析】∵绕点A逆时针旋转得到
∴，则A选项的结论正确
由旋转的性质可得
即
∴，则B选项的结论正确
∵绕点A逆时针旋转得到
∴
和都是等腰三角形
∵
∴
∴，则C选项的结论正确
∵，即
又
∴
∵AD不能确定平分
∴不能确定等于
∴不能确定等于，则D选项的结论错误
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握旋转的性质是解题关键．
6．如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交边于点，联结交于点，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质可判断，，进而可得出答案．
【解析】是边上的高，
，
∵，
，
，是的平分线，
，故A结论正确；
，
∴Rt，
，
垂直平分，
，
∵，
，，
，
，，故C结论正确；
，故B结论正确；
D结论不一定正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关判定和性质并灵活运用．
二、填空题
7．方程的根的判别式的值为 ．
【答案】52
【分析】先根据一元二次方程的定义得出a、b、c的值，再根据根的判别式计算公式即可得．
【解析】解：方程变形为：，
，
，
故答案为：52．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握 的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8．关于x的方程的一个根是2，则 ．
【答案】
【分析】把代入方程即可求得的值．
【解析】解：把代入，得
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的解的概念，将已知解代入原方程，即可求得原方程中字母的值，理解方程的解是解题的关键．
9．当时，代数式的值是 ．
【答案】5
【分析】把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【解析】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式: .
【答案】如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等
【分析】命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面．
【解析】题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
故答案为如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
11．满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在 上．
【答案】线段的垂直平分线
【分析】根据等腰三角形的定义，知点到、的距离相等，再结合到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线，即可解答．
【解析】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在是线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和线段垂直平分线的判定；理解是底边是正确解答本题的关键．
12．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解析】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程根判别式是解题的关键．
13．将一副三角板如图所示放置（其中含角的三角板的一条较短直角边与另一块三角 板的斜边放置在一直线上），那么图中 度．
【答案】105
【分析】根据三角形的外角定理，即可得出∠1的度数．
【解析】解：由题意可得，∠2=60°，∠3=45°，
由三角形外角定理，
∠1=∠2+∠3=60°+45°=105°．
故答案为105．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．在实数范围内因式分解：
【答案】
【分析】令，则式子可化为，令，求解即可．
【解析】解：令，则式子可化为，
令
则，，
则，
故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．
15．把的根号外因式移到根号内得 ．
【答案】
【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．
【解析】解：，
；




故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．
16．在中，平分，，若，，那么 °．
【答案】
【分析】根据三角形内角和的性质求得的度数，再根据角平分线和平行线的性质，求解即可．
【解析】解：由三角形内角和的性质可得：
又∵平分
∴
又∵
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
17．如图，在和中，，点、、、在同一直线上，已知，且，，，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】先证明，通过全等三角形的性质转化线段求解即可；
【解析】解：∵，
∴

∴
在和中

∴
∴，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练运用全等三角形的性质转化线段是解题的关键．
18．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
【答案】
【分析】如图，连接，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由角平分线和线段垂直平分线的性质可得，证明，得到，即可得答案．
【解析】解：如图，连接，，

，，
平分，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，，
，
由折叠得：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，证明是解本题的关键．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用二次根式的性质及运算法则求解；
（2）利用二次根式的性质及运算法则求解；
（3）利用二次根式的性质及运算法则求解；
（4）利用二次根式的性质及运算法则求解．
【解析】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
20．（1）用配方法解方程；
（2）解方程
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）利用配方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【解析】解：（1），
移项，得，
系数化1，得，
配方，得，
即，
两边开平方，得，
解得，；
（2），
去括号，得，
整理，得，
因式分解，得，
因此或，
解得，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握配方法、因式分解法等常用方法是解题的关键．
21．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先根据二次根式的性质，分式的性质，将代数式化简，将的分母有理化，再代入原式即可求解．
【解析】解：
，
且，，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，平方差公式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
22．如图，在中，点、分别在、边上，且，，，说明的理由．
【答案】理由见解析
【分析】根据，，可得，再利用可证得，从而得到，即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．如图，有一张长方形纸片，长20厘米，宽12厘米，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，如果纸盒的底面面积是128平方厘米，求剪去的小正方形的边长．
【答案】剪去的小正方形的边长为2厘米
【分析】设剪去的小正方形的边长为厘米，根据纸盒的底面面积平方厘米，列出方程，解方程即可得出答案．
【解析】解：设剪去的小正方形的边长为厘米，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：剪去的小正方形的边长为2厘米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
24．已知关于的一元二次方程
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知5是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长．
①求的值；
②求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②的周长为
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）①先把代入方程得，②将代入得方程为，利用因式分解法解方程，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
【解析】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）①把代入方程，得，解得；
②当时，原方程变为，
整理，得，解得，．
∵该方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，且不存在三边为，，5的等腰三角形．
∴等腰三角形的腰为5，底边为，
∴的周长为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
25．如图，在中，点E是边上的一点，连接垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【解析】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
26．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为
(2)当商品降价5元时，商品获利4250元
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
【解析】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
27．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠AED不变；；理由见解析
【分析】（1）由题意易得∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，进而可证∠ABD=∠ACF，则问题可证；
（2）由（1）可得BD=CF，则有BC=BF，然后根据线段的数量关系可求解；
（3）如图，过点A作AG⊥CF于G，作AH⊥BD于H，则有BD•AH=CF•AG，进而可得EA平分∠BEF，则问题可解．
【解析】解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）由（1）知，△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC=BF，
∵BD⊥CE，
∴CE=EF，
BD
（3）∠AED不变 ，
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，

由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD=S△CAF，BD=CF，
∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，
∴AH=AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，．
即．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理，数量掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．
28．如图，在中，，，M为中点，D为射线上一动点，在右侧作等边，直线与直线交于点F．

(1)如图1，当点D与点M重合时，请直接写出与的数量关系：______；
(2)如图2，当点D在线段上，求证：点E在的垂直平分线上．
(3)点D在射线运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或或或
【分析】（1）想办法证明，，可得结论．
（2）连接，，证明垂直平分线段即可．
（3）分四种情形：如图中，当时，设，如图中，当时，设，如图中，当时，设，分别构建方程求解即可．
【解析】（1）证明：如图1中，

，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
．
（2）证明：连接，．

，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
∴E在的垂直平分线上；
（3）根据题意：；
如图中，当时，设，

则，
，
．
如图中，当时，设，

则，
，
．
如图中，当时，设，

则有，
，
，
如图中，当时，设，则

，，
，
解得，
综上所述，的值为或或或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．