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山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（学生版）
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这是一份山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线与直线垂直，则m值是( )．
A. B. C. 2或D.
2. 已知空间向量，，且，则( )
A. 9B. C. 1D.
3. 直线过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是( )．
A. B. C. 或D. 或
4. 已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( )．
A. B. 6C. D. 12
5. 直线与圆的公共点个数为( )．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个
6. 已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为( )．
A. 22B. 49C. 7D.
7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )．
A. B. C. D.
8. 已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是( )．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知空间中三点，，，则( )．
A. B.
C. D. A，B，C三点共线
10. 在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是( )．
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数、使得
11. 已知与相交于A，B两点，则下列结论正确的是( )．
A. 直线AB的方程为
B. 过A，B两点，且过点的圆的方程为
C. 与公切线的长度为
D. 以线段AB为直径的圆的方程为
12. 在平面直角坐标系xOy中，方程对应的曲线为E，则( )．
A. 曲线E是封闭图形，其围成的面积小于
B. 曲线E关于原点中心对称
C. 曲线E上点到原点距离的最小值为
D. 曲线E上的点到直线距离的最小值为
第Ⅱ卷(共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知的三个顶点分别是，，，则的外接圆的方程为______．
14. 在平面直角坐标系中，直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是______．
15. 过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是______．
16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线以AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为1的正方体中，点P是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为______；三棱锥体积的最大值是______．
阿波罗尼奥斯
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为.
(1)设，求，的值；
(2)求的值.
18. 已知直线和的交点为P．
(1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．(其中O为坐标原点)．
19. 如图，在四棱锥中，．
(1)若，为的中点，求证：平面；
(2)若是边长为的正三角形，平面平面，直线与平面所成角的正切值为，且，求四棱锥的体积．
20. 如图，点是椭圆短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围．
21. 已知圆．
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程；
(3)若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点．
22. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点．
(1)求证：；
(2)若，，求三棱锥的外接球体积；
(3)若E，F分别是PC，PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线与直线垂直，则m值是( )．
A. B. C. 2或D.
2. 已知空间向量，，且，则( )
A. 9B. C. 1D.
3. 直线过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是( )．
A. B. C. 或D. 或
4. 已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( )．
A. B. 6C. D. 12
5. 直线与圆的公共点个数为( )．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个
6. 已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为( )．
A. 22B. 49C. 7D.
7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )．
A. B. C. D.
8. 已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是( )．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知空间中三点，，，则( )．
A. B.
C. D. A，B，C三点共线
10. 在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是( )．
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数、使得
11. 已知与相交于A，B两点，则下列结论正确的是( )．
A. 直线AB的方程为
B. 过A，B两点，且过点的圆的方程为
C. 与公切线的长度为
D. 以线段AB为直径的圆的方程为
12. 在平面直角坐标系xOy中，方程对应的曲线为E，则( )．
A. 曲线E是封闭图形，其围成的面积小于
B. 曲线E关于原点中心对称
C. 曲线E上点到原点距离的最小值为
D. 曲线E上的点到直线距离的最小值为
第Ⅱ卷(共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知的三个顶点分别是，，，则的外接圆的方程为______．
14. 在平面直角坐标系中，直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是______．
15. 过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是______．
16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线以AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为1的正方体中，点P是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为______；三棱锥体积的最大值是______．
阿波罗尼奥斯
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为.
(1)设，求，的值；
(2)求的值.
18. 已知直线和的交点为P．
(1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．(其中O为坐标原点)．
19. 如图，在四棱锥中，．
(1)若，为的中点，求证：平面；
(2)若是边长为的正三角形，平面平面，直线与平面所成角的正切值为，且，求四棱锥的体积．
20. 如图，点是椭圆短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围．
21. 已知圆．
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程；
(3)若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点．
22. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点．
(1)求证：；
(2)若，，求三棱锥的外接球体积；
(3)若E，F分别是PC，PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围．
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