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    高中考试数学特训练习含答案——利用导数研究函数的极值、最值

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    高中考试数学特训练习含答案——利用导数研究函数的极值、最值

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    这是一份高中考试数学特训练习含答案——利用导数研究函数的极值、最值,共9页。试卷主要包含了5 元,因为等内容,欢迎下载使用。
    基础巩固组
    1
    .
    如图,可导函数 y=f(x)在点 P(x ,f(x ))处的切线为 l:y=g(x),设 h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是( )
    0
    0
    A.h'(x )=0,x=x 是 h(x)的极大值点
    0
    0
    B.h'(x )=0,x=x 是 h(x)的极小值点
    0
    0
    C.h'(x )≠0,x=x 不是 h(x)的极值点
    0
    0
    D.h'(x )≠0,x=x 是 h(x)的极值点
    0
    0
    푥2
    2
    ln푥
    2푥
    2
    .已知函数 f(x)=ex+ -ln x 的极值点为 x ,函数 h(x)= 的最大值为 x2,则( )
    1
    A.x1>x2
    C.x1≥x2
    B.x2>x1
    D.x2≥x1
    3
    .(2020 湖南湘潭三模,理 7)某莲藕种植塘每年的固定成本是 1 万元,每年最大规模的种植量是 8 万
    1
    8
    9
    16
    1
    2
    斤,每种植一斤藕,成本增加 0.5 元.如果销售额函数是 f(x)=- x3+ ax2+ x(x 是莲藕种植量,单位:万斤;
    销售额的单位:万元,a 是常数),若种植 2 万斤莲藕,利润是 2.5 万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕
    ( )
    A.8 万斤
    C.3 万斤
    B.6 万斤
    D.5 万斤
    4
    .(多选)(2020 山东济宁一中期中,10)如果函数 y=f(x)的导函数的图像如图所示,给出下列判断:①函数
    1
    2
    y=f(x)在区间 -3,- 上单调递增;②当 x=-2 时,函数 y=f(x)有极小值;③函数 y=f(x)在区间(-2,2)上单调
    递增;④当 x=3 时,函数 y=f(x)有极小值.
    则上述判断错误的是( )
    A.①
    B.②
    C.③
    D.④

    1

    5
    .(多选)(2020 福建福州三模,理 11)已知函数 f(x)=ln|x|-x+ ,下列四个结论中正确的有( )
    A.曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 x+y-1=0
    B.f(x)恰有 2 个零点
    C.f(x)既有最大值,又有最小值
    D.若 x >0,x >0 且 f(x )+f(x )=0,则 x x =1
    1
    2
    1
    2
    1
    2
    1

    6
    .(2020 河北唐山一模,文 16)已知函数 f(x)=a -2x +ln x,f(x)有极大值 f(x )和极小值 f(x ),则实数 a
    1
    2
    的取值范围是 ,f(x )+f(x )= .
    1
    2
    7
    .(2018 北京,理 18)设函数 f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,a∈R.
    (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,求 a;
    (2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围.
    综合提升组
    8
    .(2020 山东济南三模,21)已知函数 f(x)=aln(x+b)- 푥.
    (1)若 a=1,b=0,求 f(x)的最大值;
    (2)当 b>0 时,讨论 f(x)极值点的个数.

    9
    .(2020 山西太原三模,21)已知函数 f(x)=ln x+kx.
    (1)当 k=-1 时,求函数 f(x)的极值点;


    (2)当 k=0 时,若 f(x)+ -a≥0(a,b∈R)恒成立,求 ea-1-b+1 的最大值.

    2
    1
    0.(2020 山东烟台模拟,22)已知函数 f(x)= x2-x(ln x-b-1),a,b∈R.
    (1)略;
    (2)若 f(x)在(0,+∞)上单调递增,且 c≤e2a+b,求 c 的最大值.

    创新应用组
    1
    1.
    (2020 江苏南京六校 5 月联考,17)疫情期间,某小区超市平面图如图所示,由矩形 OABC 与扇形 OCD
    π
    组成,OA=30 米,AB=50 米,∠COD= ,经营者决定在点 O 处安装一个监控摄像头,摄像头的监控视角
    6
    π
    3

    EOF= ,摄像头监控区域为图中阴影部分,要求点 E 在弧 CD 上,点 F 在线段 AB 上,设∠FOC=θ.
    (1)求该监控摄像头所能监控到的区域面积 S 关于 θ 的函数关系式,并求出 tan θ 的取值范围;
    (2)求监控区域面积 S 最大时,角 θ 的正切值.

    1
    2.(2020 山东济宁 6 月模拟,22)已知函数 f(x)=x-aln x.
    (1)若曲线 y=f(x)+b(a,b∈R)在 x=1 处的切线方程为 x+y-3=0,求 a,b 的值;
    푎 + 1

    (2)求函数 g(x)=f(x)+
    (a∈R)的极值点;
    1



    (3)设 h(x)= f(x)+aex- +ln a(a>0),若当 x>a 时,不等式 h(x)≥0 恒成立,求 a 的最小值.









    1
    6














    1
    .B 由题意知,g(x)=f'(x )(x-x )+f(x ),故 h(x)=f(x)-f'(x )(x-x )-f(x ),所以 h'(x)=f'(x)-f'(x ).因为
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    h'(x )=f'(x )-f'(x )=0,又因为当 x0,所以 x=x 是 h(x)的极小值点.故
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    选 B.
    1

    1
    2
    1
    2
    3
    2
    1
    4
    1
    4
    15
    4
    1 1
    4 2
    1
    푥1
    2
    .A f'(x)=ex+x- 在(0,+∞)上单调递增,且 f'
    =e ― >0,f'
    =e ― 0 时,f'(x)= -1-
    =
    ,所以 f'(1)=-1,所求
    1
    2
    푥2
    3
    -
    (푥- ) 2-

    线



    y
    -
    0
    =
    -
    (
    x
    -
    1
    )
    ,

    x
    +
    y
    -
    1
    =
    0
    ,

    A


    ;


    C
    ,

    x
    >
    0

    ,
    f
    '
    (
    x
    )
    =
    4
    0
    ,
    x
    >
    0
    ,

    f
    (
    x
    )
    +
    f
    (
    x
    )
    =
    0
    ,

    f
    (
    x
    )
    =
    -
    f
    (
    x
    )
    =
    -
    l
    n
    x
    -
    x
    +
    =ln푥 + 1 ― =f
    ,因为
    1
    2
    1
    2
    1
    2
    2
    2
    2

    2
    1
    f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 x = ,即 x x =1,故 D 正确.故选 ABD.
    1
    1
    2

    2
    2
    4
    1
    푥2
    1

    -2푎푥2 + 푥- 푎
    푥2
    6
    . 0,
    -ln 2 由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a - -2 + =
    .令 g(x)=-2ax2+x-a,


    f
    (
    x
    )








    ,

    g
    (
    x
    )
    =
    -
    2
    a
    x
    2
    +
    x
    -
    a



    (
    0
    ,
    +

    )











    .

    1
    -
    -
    -
    1
    0,
    >
    0,
    -
    2푎

    >
    2푎
    -
    4(- 2푎)(- 푎) > 0,
    푎 > 0,
    2
    4



    a

    0
    ,
    .
    1
    푎2
    ,


    x

    ,
    2

    ,
    f
    '
    (
    x
    )

    0
    .
    1
    2


    2


    f
    (
    x
    )





    .




    ,
    a






    ,
    +

    .
    8
    .解 (1)当 a=1,b=0 时,f(x)=ln x- 푥,
    此时,函数 f(x)定义域为(0,+∞),
    1
    1

    2-
    2푥
    푥,
    f'(x)= ―
    =
    2 푥


    f
    '
    (
    x
    )
    >
    0
    ,

    0



    ,
    f
    (
    x
    )







    2
    .
    1

    9
    .解 (1)f(x)定义域为(0,+∞),当 k=-1 时,f(x)=ln x-x,f'(x)= -1,令 f'(x)=0,得 x=1,当 f'(x)>0 时,解得 00,函数 g(x)在(0,b)上单调递减,在(b,+∞)上单调递增,
    所以 g(x)min=g(b)=ln b+1,


    a

    l
    n
    b
    +
    1
    ,


    a
    -
    1

    l
    n
    b
    ,


    e
    a
    -
    1

    b
    ,
    e
    a
    -
    1
    -
    b
    +
    1

    1
    ,





    e
    a
    -
    1
    =
    b

    ,
    e
    a
    -
    1
    -
    b
    +
    1






    1
    .
    1
    0.解 (1)略
    (2)因为 f(x)在(0,+∞)上单调递增,即 f'(x)=ax+b-ln x≥0 在(0,+∞)上恒成立,设 h(x)=ax+b-ln x,则
    1
    h'(x)=a- ,



    若 a=0,则 h'(x)
    0
    ,
    h
    (
    x
    )




    ,
    1



    h
    (
    x
    )
    =
    h
    =
    1
    +
    b
    +
    l
    n
    a
    ,
    m
    i
    n
    由 h(x)min≥0 得 2a+b≥2a-1-ln a.
    设 m(x)=2x-1-ln x,x>0,
    1

    m
    '
    (
    x
    )
    =
    2
    -
    ,

    1
    2

    0

    0
    ,
    m
    (
    x
    )




    .


    m
    (
    x
    )

    m
    =
    l
    n
    2
    ,


    2
    a
    +
    b

    l
    n
    2
    .

    c

    e
    2
    a
    +
    b
    ,


    c

    2
    ,

    c





    2
    .
    1
    2
    π
    2 500π 2 500
    6
    1
    1.解 (1)扇形 EOC 的面积为 × 3-θ ×502=

    휃.
    2
    1
    2
    30
    tan휃



    O
    C
    B
    F




    3
    0
    ×
    5
    0
    -
    ×
    3
    0
    ×
    .
    1
    250π
    3
    -50
    9
    tan휃
    +25θ .








    S
    =
    1
    5
    0
    0
    +
    π
    3
    5


    θ

    θ
    ,
    ,
    t
    a
    n
    θ
    =
    ,
    0
    0
    3
    3


    t
    a
    n
    θ

    ,
    3
    .
    5
    9
    tan휃
    -9sin2휃- 9cs2휃
    sin2휃
    -9
    sin2휃
    (2)令 h(θ)=
    +25θ,则 h'(θ)=
    +25=
    +25.
    3
    4
    3

    h
    '
    (
    θ
    )
    =
    0

    t
    a
    n
    θ
    =

    ,
    3
    .
    5
    π




    θ
    ,


    h
    (
    θ
    )

    [
    θ
    ,
    θ
    )





    ,

    θ
    ,





    ,


    h
    (
    θ
    )





    h
    (
    θ
    )
    ,


    1
    0
    1
    1
    1
    3
    1
    250π
    3
    -50h(θ1),









    1
    5
    0
    0
    +
    3
    4
    3
    4


    t
    a
    n
    θ
    =
    .







    S



    ,

    θ





    .
    1
    '
    ( ) - ,


    푓 1 = 1
    1
    2.解 (1)由 f(x)=x-aln x,得 y=f(x)+b=x-aln x+b(x>0),∴y'=f'(x)=1- .由已知可得

    푓(1) + 푏 = 2,
    1-
    + 푏 = 2,
    푎 = 1
    - ,
    1

    a=2,b=1.

    푎 + 1

    푎 + 1



    푎 + 1 (푥 + 1)[푥-(푎 + 1)]
    (2)∵g(x)=f(x)+
    =x-aln x+
    ,∴g'(x)=1- ―
    =
    (x>0),所以当 a+1≤0,即
    푥2
    푥2
    a≤-1 时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,无极值点;
    当 a+1>0,即 a>-1 时,则当 00,∴g(x)在(0,a+1)上单调递减,
    在(a+1,+∞)上单调递增,所以 x=a+1 是 g(x)的极小值点,无极大值点.




    ,

    a

    -
    1

    ,


    g
    (
    x
    )




    ;

    a
    >
    -
    1

    ,


    g
    (
    x
    )






    a
    +
    1
    ,





    .
    1



    (3)h(x)= f(x)+aex- +ln a=aex-ln x+ln a(a>0),由题意知,当 x>a 时,aex-ln x+ln a≥0 恒成立,






    a
    e
    x
    -
    l
    n
    x
    +
    l
    n
    a

    0



    a
    e
    x

    l
    n
    ,
    1








    e
    x

    l
    n
    ,

    x
    e
    x

    l
    n
    ,










    x
    >
    a
    >
    0

    :
    >
    1
    ,
    l
    n
    >
    0
    ,







    l
    n
    (
    x
    e
    x
    )

    l
    n
    l
    n
    ,





    x
    +
    l
    n
    x

    l
    n
    +
    l
    n
    l
    n
    ,
    设 φ(x)=x+ln x(x>0),
    则原不等式即为 φ(x) ≥ 휑 ln


    ,

    φ
    (
    x
    )
    =
    x
    +
    l
    n
    x
    (
    x
    >
    0
    )

    (
    0
    ,
    +

    )





    ,










    x

    l
    n
    ,




    e푥

    e푥






    e
    x

    ,

    a

    (
    x
    >
    a
    >
    0
    )
    ,

    F
    (
    x
    )
    =
    (
    x
    >
    0
    )
    ,
    1
    -


    F
    '
    (
    x
    )
    =
    ,

    F
    (
    x
    )

    (
    0
    ,
    1
    )





    ,

    (
    1
    ,
    +

    )





    .
    e


    x
    >
    a
    >
    0
    ,


    0

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    这是一份人教版高考数学一轮复习考点规范练16利用导数研究函数的极值、最值含答案,共5页。试卷主要包含了函数f=ln x-x在区间,故ln a

    历年高考数学真题精选12 利用导数研究函数的极值与最值:

    这是一份历年高考数学真题精选12 利用导数研究函数的极值与最值,共16页。

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