高中考试数学特训练习含答案——利用导数研究函数的单调性

这是一份高中考试数学特训练习含答案——利用导数研究函数的单调性，共7页。
基础巩固组
1
.函数 f(x)=x3-ax 为 R 上增函数的一个充分不必要条件是( )
A.a≤0 B.a0
.(2020 山东青岛二中月考)已知定义域为 R 的函数 f(x)的导数为 f'(x),且满足 f'(x)x2-1 的解集是( )
2
A.(-∞,-1)
C.(2,+∞)
B.(-1,+∞)
D.(-∞,2)
3
.(2020 山东德州二模,8)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)+1-1,而 g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以不等式可化为 g(x)>g(2),故不等式的解集为(-∞,2).故选 D.
2
푓
(
푥
)
+
1
푓
'
(
푥
)
-
푓
(
푥
)
-
1
3
.C 令 g(x)=
,∵f(x)+10,故 g(x)在 R 上单调递增,且 g(0)=3,由
e푥
e푥
푓
(
푥
)
+
1
f(x)+1>3ex,可得
>3,即 g(x)>g(0),所以 x>0,故选 C.
e푥
.D f'(x)=1
- ln푥
푥2
(x>0),当 x∈(0,e)时,f'(x)>0;当 x∈(e,+∞)时,f'(x)f(3)>f(2).故选 D.
6
1
푚
1
푚
5
.AC 设 g(x)=f(x)-mx,则 g'(x)=f'(x)-m>0,故 g(x)=f(x)-mx 在 R 上单调递增.因为 >0,所以 g
1
푚
1
푚
1- 푚
푚
1
푚
1- 푚
푚
1
푚- 1
>
g(0),故 f
-1>-1,即 f
>0,而

,故 A 正确,B 错误.因为
>0,所以 g
1
푚- 1
1
푚- 1
푚
-
1
푚- 1
1
푚- 1
>
g(0),故 f
-푚 1>-1,即 f
>
>0,故 C 正确,D 错误.故选 AC.
1
2
9
푥
9
푥
6
.(1,2] ∵f(x)= x2-9ln x,∴f'(x)=x- (x>0),当 x- ≤ 0 时,有 00 且 a+1≤3,解得 10 有解,即 a0,
从而 f(x)在 -∞,1 ,(a,+∞)上单调递增;
푎
1
当
0
,
훥
=
1
6
푎
1
2
1
6
1
2
1
2
1
6
不成立,a≠0 时,只需
解得 a .而 ,+∞ ⫋ -∞,-
∪
,+∞ ,故选 D.
( ) ( )
,
푔
1
푔
3
ax-2ex 在(0,+∞)上恒成立,等价于 f(x+1)>f(ex)在(0,+∞)上恒成立.因为
当 x∈(0,+∞)时,1
6f
,故 A 错误;又因为 f(0)=0,所以 g(0)=푓(0)=0,所以 g(x)=푓(푥) 0 在 0,2
>
≤
π
4
cs
cs0
cs푥
2
π
π
π
3
π
2
π
π
6
π
3
푓
(
)
푓
(
)
π
6
上恒成立,因为 ln ∈ 0, ,所以 f ln3 g
,所以 6π > 3π,即 f
cs
cs
6
3
π
π
π
3
π
4
π
3
푓
(
)
푓
(
)
π
4
π
3
>
3f
,故 C 正确;又因为 g
>g
,所以 4π > 3π,即 f
> 2f
,故 D 正确.故选 CD.
cs
cs
4
3
푚
푥
푚
푥2
푥2- 푚푥 + 푚
푥2
1
2.解 由题意得 x∈(0,+∞),f'(x)= -1- =-
.
令 g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4).
①
当 0≤m≤4 时,Δ≤0,g(x)≥0 恒成立,则 f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②
当 m0,函数 g(x)与 x 轴有两个不同的交点 x ,x (x 0,函数 g(x)与 x 轴有两个不同的交点 x ,x (x 0,x x =m>0,则 x >0,x >0.
1
2
1
2
1
2
所以 f(x)在 0,푚-
4푚 ,
푚
+
m2-
2
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减;
2
푚
-
2
-
푚
+
2
-
在
푚
4
푚
,
푚
4
푚
上
单
调
递
增
.
2
2
综上所述,当 0≤m≤4 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;

当 m4 时,f(x)在 0,푚- 푚2- 4푚 上单调递减,
2
푚
-
2
-
푚
+
2
-
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减.
2
在
푚
4
푚
,
푚
4
푚
,
2
2
3.A 根据题意,设 g(x)=푓(푥),其导数为 g'(x)=
푓'(푥)cs푥 + 푓(푥)sin푥
cs2푥
π
2
1
.因为当 00,所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当 a