陕西省宝鸡市陇县中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份陕西省宝鸡市陇县中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知圆，设集合，，现有下面三个结论，已知函数，若，则等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：北师大版必修1，必修2。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题正确的是（ ）
A.在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行
B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点
C.经过空间任意三点可以确定一个平面
D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
2.已知直线与，若，则（ ）
A.7B.6C.5D.8
3.不论为何实数，直线恒过定点（ ）
A.B.C.D.
4.已知，是不同的平面，，是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）
A.若，，，则
B.若，，则，
C.若，，则
D.若，，则
5.已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ）
A.B.
C.D.
6.设集合，，现有下面三个结论：
①；②；③.
其中，正确的结论的个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
7.已知函数，若，则（ ）
A.B.C.D.
8.下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.16B.24C.40D.48
9.已知函数在上是单调函数，则的解析式可能为（ ）
A.B.C.D.
10.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A.B.C.D.
11.定义集合运算：.若集合，，则（ ）
A.B.C.D.
12.若函数则函数的零点的个数为（ ）
A.4B.5C.6D.7
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线的倾斜角为________.
14.某停车场规定：停车第一个小时6元，以后每个小时4元；超过5个小时，每个小时5元；不足一小时按一小时计算，一天内60元封顶.小林与小曾在该停车场当天分别停车4.5小时、13小时，则他们两人在该停车场共需交停车费________元.
15.已知，，则的近似数为________.（结果精确到0.001）
16.设体积为的正三棱雉外接球的球心为，其中在三棱雉内部.若球的半径为，且球心到底面的距离为，则球的半径________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知直线过点.
（1）若直线在轴上的截距为3，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求.
18.（本小题满分12分）
已知.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义法加以证明.
19.（本小题满分12分）
在四棱柱中，已知底面是菱形，平面，，分别是棱，的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）证明：当时，只有一个零点.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱雉中，点是底面对角线上一点，，是边长为的正三角形，，.
（1）证明：平面；
（2）若四边形为平行四边形，求四棱雉的体积.
22.（本小题满分12分）
已知圆与直线相切.
（1）若直线与圆交于，两点，求；
（2）已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值.
陇县中学
2021~2022学年度第一学期高一期末考试・数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 两条直线没有公共点，它们可能异面，所以A错误；当三点共线时，有无数个平面，所以C错误；若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行，也可能相交，所以D错误.
2.A 因为，所以，则.
3.C 将直线转化为，因为直线恒过定点，所以，则，即直线过定点.
4.B 若，，则，或，或，.
5.C 依题意可设，则，∵，∴，∴圆的方程为.
6.B ∵，，∴，，.
7.D ∵，
∴，.
∵，∴.
8.A 该几何体是如图所示的一个四棱雉，所以体积为.
9.C 当时，为增函数，则在上为减函数，且，故选C.
10.C 连接，，.因为，分别是，的中点，所以.
又因为.所以为异面直线与所成角.
在中，因为，所以.
11.D ∵，∴或3，或3，∴.故.
12.C 易得的零点为，，，
令，则的根分别为，，，
结合的图象可知，方程，，的根的个数分别为1，2，3，故的零点个数为6.
13. 因为直线方程为，所以该直线的斜率，故倾斜角为.
14.82 停车4.5小时按5小时计算，小林需要交停车费元.停车13小时需要停车费元，但一天内60元封顶，故小曾实际需要交停车费60元.故两人共需交停车费元.
∵，，，
∴，若结果精确到0.001，则的近似数为4.277.
16.3 取的中心，连接，则平面且球心在上.由条件知，，连接，，则，于是的边长为.又，故三棱雉的高是，所以，得.
17.解：（1）设所求直线的方程为，…………………………………………1分
∵直线过点，
∴，即.
∴，即.………………………………………………5分
（2）设所求的直线的方程为，…………………………………………6分
则有，得.…………………………………………………………7分
∵与直线间的距离为，
∴，又，∴.…………………………………………………………10分
18.解：（1）令，则，………………………………………………2分
∵，∴，……………………………………4分
∴（或）.………………………………5分
（2）在上单调递增.……………………………………………………6分
证明如下：
设，
则.……………………………………9分
∵，∴，，………………………………10分
∴，即.
∴在上单调递增.…………………………………………………………12分
19.证明：（1）连接，在四棱柱中，因为，，
所以，所以为平行四边形，所以.…………………………2分
又，分别是棱，的中点，所以，所以.……………………4分
又平面，平面，
所以平面.……………………………………………………………………6分
（2）因为平面，
所以平面，而平面，
所以.……………………………………………………………………8分
又因为棱柱的底面是菱形，所以底面也是菱形，
所以，而，所以.……………………………………9分
又，平面，且，
所以平面.………………………………………………………………11分
而平面，所以平面平面.………………………………12分
20.（1）解：∵，∴，∴.……………………………………2分
从而，…………………………………………………………3分
∵，∴，即，………………………………………………5分
故不等式的解集为.…………………………………………6分
（2）证明：的定义域为.……………………………………………………7分
当时，在上为增函数，……………………………………8分
而在上也为增函数，………………………………………………9分
则在上为增函数.…………………………………………………………10分
∵，………………………………………………………………………………11分
∴当时，只有一个零点.……………………………………………………12分
21.（1）证明：取线段的中点，连接，，
由条件知，，从而平面，……………………………………1分
又平面，所以.…………………………………………………………2分
因为，线段的中点为，所以.…………………………3分
因为，所以，.……………………………………………………4分
因为，，于是，故，…………………………5分
又，所以平面.…………………………………………6分
（2）解：由（1）可知，，
又四边形为平行四边形，所以四边形是菱形.…………………………7分
由，可得，是边长为2的正三角形，
，所以三角形的面积为.……………………8分
同理可得.………………………………………………………………10分
所以.……………………………………………………11分
因为平面，所以.…………12分
22.（1）解：由题意知，圆心到直线的距离，
所以圆，……………………………………………………………………2分
又圆心到直线的距离，……………………………………3分
所以.………………………………………………………………5分
（2）证明：设，则，……………………………………………………7分
所以为定值.……………………12分