初中数学苏科版八年级上册4.3 实数导学案

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知识点01 实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60等
【微点拨】
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【即学即练1】在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据无理数的定义即可求解．
【详解】解：在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数有和两个．
故选：B
知识点02 实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【即学即练2】的倒数是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据倒数的定义写出即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
知识点03 平方根、算术平方根和立方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【即学即练3】下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的化简法则及实数的加减法计算并判断．
【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算错误，不符合题意；
D、，故原计算正确，符合题意；
故选：D．
知识点04 实数大小的比较
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【微点拨】
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即学即练4】在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵正数都大于负数，
∴最小的数为-22，
故选A．
知识点05 实数的运算
1、加法交换律：
2、加法结合律 ：
3、乘法交换律：
4、乘法结合律 ：
5、乘法对加法的分配律：
6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
【微点拨】1、有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
2、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
【即学即练5】化简|2－|＋|－3|的结果是（ ）
A．－1B．1C．5－2D．2－5
【答案】B
【分析】先化简绝对值，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式＝
故选B
考法01 实数的大小比较
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【典例1】下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】，，，，
故选：A
考法02 实数的分类
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【典例2】设边长为4的正方形的对角线长为，下列是关于的四种说法：
①是无理数；
②不可以用数轴上的一个点来表示；
③；
④是32的算术平方根.
其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】根据无理数的意义，可判断①，根据实数与数轴的关系，可判断②，根据实数的大小比较，可判断④根据算术平方根，可判断④．
【详解】解：①，故①正确；
②实数与数轴上的点一一对应，故②错误；
③，故③错误；
④，故④正确；
故选：A．
题组A 基础过关练
1．无理数的值介于( )
A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间
【答案】B
【分析】估算出的值即可判断．
【详解】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴无理数的值介于3～4之间，
故选：B．
2．在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，
∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个．
故选：B．
3．实数，3，0，中，最大的数是（ ）
A．B．3C．0D．
【答案】B
【分析】根据正数＞0＞负数，即可排序找到最大的数．
【详解】解：∵-2<0<<3，
∴实数，3，0，中，最大的数是3，
故选：B．
4．实数3的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：实数3的相反数是：-3．
故选：A．
5．比较大小：______．（填“>”，“=”或“<”）
【答案】>
【分析】先利用平方法比较它们的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可比较．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：>．
6．若n为整数，且，则n的值为________________．
【答案】4
【分析】依据夹逼法确定出的大致范围，从而可得到n的值．
【详解】解：∵16＜21＜25，
∴4＜＜5．
∴n＝4．
故答案为：4．
7．计算：+++．
【答案】．
【分析】先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得．
【详解】解：原式
．
题组B 能力提升练
1．下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义以及无理数的估算方法进行判断即可．
【详解】解：3.152＜10，故选项A不合题意；
3.162＜10，故选项B不合题意；
3.162＜10＜3.172，即，故选项C符合题意；
3.172＞10，故选项D不合题意；
故选：C．
2．无理数在两个相邻的整数之间的是 （ ）
A．5和6B．4和5C．3和4D．2和3
【答案】D
【分析】根据题意可得，从而得到，继而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即无理数在两个相邻的整数之间的是2和3．
故选：D
3．下列各实数比较大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平方法比较实数大小的方法对每个选项进行判断即可．
【详解】解：A. ，，
又，
．
，故选项错误，不符合题意；
B. ，，
又，
．故选项错误，不符合题意；
C、，，
．
，
，故选项错误，不符合题意；
D. ，
，
，故选项正确，符合题意．
故选：D．
4．估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．3和4之间D．5和6之间
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【详解】解：原式==4-
∵2<<3，
∴-3<<-2，
∴1<<2，
故选B．
5．在，，，，这五个数中，有理数有__个．
【答案】3
【分析】直接利用有理数为整数和分数的统称分析得出答案．
【详解】解：在，，，，这五个数中，有理数有：，，共3个．
故答案为：3．
6．已知a，b为两个连续的整数，且，则______．
【答案】
【分析】直接利用估算无理数的方法得出，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵a，b为两个连续的整数，且，
∴，，
∴，
故答案为：．
7．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为___________．
【答案】±4
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4，
∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3，
∴
∴的平方根是±4．
故答案为：±4．
8．（1）计算：﹣＋；
（2）．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）首先计算开方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算开方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：（1）﹣＋

（2）


9．将下列各数填入相应的集合中：
，0，，，3.01，，，，
有理数集合：_______________； 无理数集合：_____________；
整数集合：________________； 分数集合：_________________．
【答案】 ，0，，，3.01，， ， ，0， ，，3.01，
【分析】找出给定数列中有理数、无理数、整数以及分数，此题得解．
【详解】解：在，0，，，3.01，，，，中，
有理数有：，0，，，3.01，，；
无理数有：，；
整数有：，0，；
分数有：，，3.01，．
故答案为：，0，，，3.01，，；，；，0，；，，3.01，．
10．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法：
①∵3－2＝1＞0，∴3＞2；②∵（－2）－1＝－3＜0，∴－2＜1；③∵（－2）－（－2）＝0，∴－2＝－2
像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．
(1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：
若，则_________；若，则_________；若，则_________；
(2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）﹒
①______________；
②当时，____________；
(3)试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)＞，=，＜
(2)＜，＞
(3)，理由见详解
【分析】（1）根据作差法可作答；
（2）利用作差法即可作答；
（3）结合整式的加减混合运算法则，利用作差法即可作答；
【详解】(1)∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：＞、=、＜；
(2)①∵，
∴；
②∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：＜、＞；
(3)，
理由如下：
∵，
又∵，
∴，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（ ）
A．，之间B．，之间C．，之间D．，之间
【答案】D
【分析】先估算出的值，再确定出其位置即可．
【详解】解：∵9＜11＜16，
∴，
∴，
∴，
即0＜＜1
表示数的点应在，之间．
故选：D．
2．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是（ ） ．
A．B．C．D．2S2-2
【答案】A
【分析】根据已知条件和，将按一定规律排列的一组数：，，，，，，求和，即可用含的式子表示这组数据的和．
【详解】解：，
．
故选A．
3．定义a*b＝3a﹣b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（ ）个．
①3*2＝7．
②2⊕（﹣1）＝﹣5．
③（*）⊕（⊕）＝﹣．
④若a*b＝b*a，则a＝b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先按照定义书写出正确的式子再进行计算就可解决本题．
【详解】①、，故计算正确，符合题意；
②、，故计算正确，符合题意；
③、，故计算错误，不符合题意；
④、，，
∵a*b＝b*a，
，
解得：，
故计算正确，符合题意．
综上所述，正确的有：①②④，共3个．
故选：C．
4．比较大小：______（填>、<或=）．
【答案】
【分析】由利用不等式的基本性质可得再得到从而可得结论．
【详解】解：


故答案为：
5．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝_________．
【答案】2
【分析】根据新定义得到★=，在结合新定义计算★即可得出．
【详解】解：∵<，
∴★=，
∴★（★）=★=，
故答案为：2．
6．观察下列各式：①
②
③
根据上面三个等式，猜想的结果为______．
【答案】
【分析】利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可．
【详解】解：根据题意，第n个等式为
＝
∴＝＝
故答案为： ．
7．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为________．
【答案】 3 256
【分析】仿照题目已知的例题即可解答．
【详解】解：由题意得：
现在对36进行如下操作：
36{}＝6{}＝3{}＝2，
∴对36只需进行3次操作后变为2；
现在对256进行如下操作：
256{}＝16{}＝4{}＝2，
如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；
故答案为：3，256．
8．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据二次根式、零指数幂、绝对值的性质进行求解即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式进行求解即可；
【详解】(1)解：原式=
=
(2)解：原式=
=
9．阅读材料：如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大2，我们称这个三位数为“新年数”．比如372，百位数字与个位数字之和为3＋2＝5，十位数字是7，7－5＝2，所以372是“新年数”．
(1)请判断493，681是否是“新年数”，并写出判断过程；
(2)若一个“新年数”m是13的倍数，将m各位数字之和记为，求的值．
【答案】(1)493是“新年数”；681不是“新年数”；(2)12或16
【分析】（1）根据“新年数”的定义进行求解即可；
（2）根据能被13整除的数的特征，结合“新年数”的定义进行求解即可．
【详解】(1)解：∵4+3=7，9-7=2，
∴493是“新年数”；
∵6+1=7，8-7=1，
∴681不是“新年数”；
(2)设“新年数”m的个位数为a，百位数为b，则十位数为：a+b+2，
∵“新年数”m能被13整除，
∴10a+a+b+2+4（a+b+2）
=10a+a+b+2+4a+4b+8
=15a+5b+10
=5（3a+b+2），
∴3a+b+2=13，
即3a+b=11，
b=11-3a，
∵F（m）=a+b+a+b+2=2a+2b+2=24-4a，
∴当a=0时，b=11，不符合题意；
当a=1时，b=8，十位数是11，不符合题意；
当a=2时，b=5，十位数是9，F（m）=16；
当a=3时，b=2，十位数是7，F（m）=12；
当a=4时，b=-1不符合题意．
综上所述，F（m）的值是12或16．
10．对于任意的一个四位数，若它的千位数字与十位数字的和等于11，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“关联数”，的千位数字的2倍与百位数字的和记为，的十位数字与个位数字之和记为．例如：，，，是“关联数”．此时，．又如：，，不是“关联数”．
(1)判断6161，4575是否为“关联数”，并说明理由；如果是“关联数”，请求出、的值；
(2)已知一个四位数为“关联数”，其中（，，、是整数），若，求出所有满足条件的的值．
【答案】(1)不是“关联数”， 是“关联数”，理由见解析，，
(2)
【分析】（1）根据“关联数”需要满足的条件进行判断即可；
（2）的定义以及建立二元一次方程，再根据，，、是整数，求出方程的解集，即可得到所有满足条件的的值．
【详解】(1)∵，
∴不是“关联数”；
∵，，
∴是“关联数”．
，
；
(2)∵为“关联数”，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，或，或，或
∴．
课程标准
课标解读
了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类
了解实数与数轴上点的一一对应关系
会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小
在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类
了解有理数、无理数以及实数的有关概念，理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值几何概念
画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴表示大小