苏科版八年级上册1.2 全等三角形巩固练习

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考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题（在给出的四个选项里只有一项是正确的；本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形
D．全等图形的周长相等，面积相等
【答案】C
【解析】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；
B、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；
C、全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；
D、全等图形的周长相等，面积相等，正确，不合题意；
故选：C．
2．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠DAE，
∵AC＝AD，
∴①当AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；
②当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED；
③当∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
④当∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．
故选：C．
3．如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】A
【解析】解：连接AP，
∵PR＝PS，PR⊥AB， PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△APR和△APS中:

∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
故①正确；
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
故②正确；
BC只是过点P，不能证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
4．两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①②③④
【答案】A
【解析】解：①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，故①正确；
②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，故②正确；
③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，故③错误；
④有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，故④错误；
综上分析可知①②正确，故A正确．
故选：A．
5．如图，ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，BCD的面积为10，ACD的面积为6，则ABC的面积是（ ）
A．20B．18C．16D．15
【答案】A
【解析】解：延长AD、BC相交于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴S△ABD＝S△EBD，S△CDE＝S△ACD＝6，
∵S△BCD＝10，
∴S△ABD＝S△EBD＝S△BCD+S△CDE＝10+6＝16，
∴S△ABC＝S△ABE－S△ACE＝16×2－6×2＝20，
故选：A．
6．如图，点B、E、C、F四点共线，∠B ＝∠DEF，BE ＝ CF，添加一个条件，不能判定 △ABC ≌ △DEF的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AB＝DEC．AC∥DFD．AC＝DF
【答案】D
【解析】解：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF，
A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；B．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；C．∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，
∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；D．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠DEF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；故选：D．
7．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，，，垂足分别为E，F，DE＝DF．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①∴∠BED＝∠CFD＝90°，
②∴．
③∵DE⊥AB，DF⊥AC，
④∵在和中，，
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④B．③→①→④→②
C．①→②→④→③D．①→④→③→②
【答案】B
【解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】B
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠EFC＝∠DEB，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝（180°−50°）÷2＝65°，
∴∠CFE＋∠FEC＝180°−65°＝115°，
∴∠DEB＋∠FEC＝115°，
∴∠DEF＝180°−115°＝65°，
故选：B．
9．如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ）s．
A．1B．1或2C．1或D．1或或
【答案】C
【解析】解：当点在上，点在上时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
当点在上，点第一次从点返回时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
综上所述：的值为1或．
故选：C．
10．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【解析】
如图所示，设EH与AD交于点M，
∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，
故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠AFE＝∠BFD＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵EM是∠AEF的平分线，
∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH为AF的垂直平分线，
∴AH＝HF，
∴②正确；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同理，BD＝DF，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）,
∴③正确；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB，
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH，
∴CH＝AB+AH，
∴④正确；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，
∴⑤正确，
综上，正确结论的个数为5个．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠CAE＝29°，则∠ACF的度数为________°．
【答案】61
【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝29°，
∴∠BAE＝16°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF＝16°，
∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝61°，
故答案为：61．
12．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为14，若AB＝5，BC＝4，AC＝________．
【答案】5
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为14，
∴△ABC的周长为14，
又∵AB=5，BC=4，
∴AC=14-5-4=5，
故答案为：5．
13．如图，△ABC≌△DBC，∠A＝32°，∠DCB＝38°，则∠ABC＝_________．
【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，已知AB、CD相交于点P，AP＝BP，请增加一个条件，使△ADP≌△BCP（不能添加辅助线），你增加的条件是_______．
【答案】（答案不唯一）【解析】解：，
理由是：在和中
，
故答案为：（答案不唯一）．
15．如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为 _____cm．
【答案】17
【解析】解：连接EF．
由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，
∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，
在△CEF和△DFE中，
，
∴△CEF≌△DFE（ASA），
∴DE＝CF，
∴AF＝CF＝DE＝3cm
∵E是BC的中点，
∴EC＝EB＝DF＝5.5cm，
∴四边形DECF的周长＝2（3+5.5）＝17cm．
故答案为：17．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____．
【答案】
【解析】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，
∵AD⊥BC于点D，
∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°
∴∠AGD=∠B，
∵AE//BC，
∴∠EAH=∠B，
∴∠EAH=∠AGD，
∵AE=AB，
∴AE=AG，
在△AEH和△GAD中，
，
∴△AEH≌△GAD（AAS），
∴EH=AD，AH=GD，
在Rt△EHF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），
∴FH=CD，
∴FH-AH=CD-GD，
∴AF=GC，
∴，
∴S△AEF=S△GAC，
设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，
∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10题，共68分）
17．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝CF＝3，BF＝4.5，求EF的长度．
【答案】EF的长度为7.5
【解析】解：∵过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF，
∴∠AEC=∠CFB=90°，
在Rt△AEC和Rt△CFB中，，
∴Rt△AEC≌Rt△CFB（HL），
∴EC=BF=4.5，
∴EF=EC+CF=4.5+3=7.5．
18．（6分）如图，，，，，求和的度数．
【答案】，
【解析】解：∵，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴
，
∴．
∴，．
19．（6分）如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．
【答案】见解析
【解析】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ABE和△ACD中

∴△ABE≌△ACD （AAS），
∴∠B＝∠C，AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BDO和△CEO中

∴△BDO≌△CEO （AAS），
∴OB＝OC．
20．（6分）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【答案】(1)DE＝CE+BC，理由见解析
(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解
【解析】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC．
（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．
证明：∵△ABC≌△DAE，
∴∠AED＝∠C，
又∵DEBC，
∴∠C＝∠DEC，
∴∠AED＝∠DEC．
又∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠DEC＝90°，
∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DEBC．
21．（6分）如图，OA＝OB，AC⊥OA，CB⊥OB．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)请你另写出一个结论，并证明该结论．
【答案】(1)见解析
(2)结论：OC平分，理由见解析
【解析】（1）解：连接OC，如图
AC⊥OA，CB⊥OB
与中，
∵OA＝OB，OC=OC
△ABC是等腰三角形；
（2）结论：OC平分
证明：由（1）知
OC平分．
22．（6分）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；
(2)求证：BE⊥AC；
(3)求EF与AE的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)EF＝，AE＝1．
【解析】（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴∠EBD＝∠CAD，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠ADB＝90°，
∴BE⊥AC．
（3）解：∵S△ABC＝AD•BC＝14，AD＝4，
∴BC＝7，
∵BD＝4，
∴CD＝3，
∵，
∴ED＝CD＝3，
∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，
∵S△ABC＝BF•AC＝14，BE＝AC＝5，
∴BF＝，
∴EF＝BF－BE＝－5＝．
23．（6分）如图，在△ABC中，，BD，CE均为△ABC的角平分线且相交于点O．
(1)填空：_______°．
(2)求证：．
【答案】(1)120；(2)见解析
【解析】（1）解：∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−60°＝120°，
∵BD，CE均为△ABC的角平分线，
∴，，
∴，
∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−60°＝120°．
故答案为：120．
（2）证明：在BC上截取BF＝BE，如图所示：
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵在△BOE和△BOF中，
∴△BOE≌△BOF（SAS），
∴∠BOE＝∠BOF，
∵∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∴∠BOF＝60°，
∴，
∵OC平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO，
∵在△COD和△COF中，
∴（ASA），
∴CD＝CF，
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD．
24．（6分）如图，在四边形ABCD中，ABCD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．
(1)写出图中的一对全等三角形 ；
(2)若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求的面积．
【答案】(1)；
(2)25．
【解析】（1）解：∵ABCD，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：，
（2）解：∵，
∴，
∵BC＝5，CD＝6，
∴，
∴．
25．（10分）如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D．
(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD
(2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD=，理由见解析
(3)AO=2OD，理由见解析
【解析】（1）证明：在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：AD=，理由如下：
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．如图
由（1）得△ACD≌△EBD
∴∠C = ∠CBE，AC=BE
∴AC∥EB， AD=
∴∠BAC+∠ABE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC=∠ABE
在△ABC和△BAE中
∴△ABC≌△BAE（SAS）∴BC=AE，
∴AD=
（3）AO=2OD，理由如下：
解：延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．如图，
由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB
∴∠AOE=∠BME ，∠OCD=∠NBD，AO=BM
∴AO∥BM ，OC∥NB，
∴∠MBO=∠BON ，∠MOB =∠NBO
在△MOB和△NBO中
，
∴△MOB≌△NBO(ASA)
∴MB=NO
∴AO=2OD
26．（10分）如图，已知在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，CD＝8厘米，点M以6厘米/秒的速度运动，点M从点C出发，同时点N从点B出发，设运动时间为t秒．
(1)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①当t＝2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由；
②当点M，N的运动时间t为______秒时，△BMN是一个直角三角形；
(2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)已知点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，经过50秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是______厘米/秒．
【答案】(1)① 全等，理由见解析；② 或
(2)存在，，厘米|秒
(3)5.6或6.8
【解析】（1）①△BMN≌△CDM；理由：∵点M，N的运动速度为6厘米/秒∴ t＝2时，CM＝BN＝6×2＝12厘米，∴ BM＝BC－CM＝20－12＝8（厘米）∵CD＝8厘米∴ BM＝CD．∵△ABC是等边三角形∴ ∠ B＝∠C＝60°．在△BMN和△CDM中，BN＝CM，∠B＝∠C，BM＝CD∴ △BMN ≌ △CDM（SAS）；②∵∠B＝60°，△BMN是直角三角形，∴∠BMN＝90°或∠BNM＝90°．∵BN＝CM＝6t∴ BM＝BC－CM＝20－6t．（Ⅰ）当∠BMN＝90°时，∠BNM＝30°∴ BN＝2BM∴∴；（Ⅱ）当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30°∴ BM＝2BN∴ 20－6t＝2×6t∴．综上，t的值为或故答案为或
（2）点N的运动速度与点M不相等，∴ CM ≠ BN，若要△BMN和△CDM全等，则BN＝CD＝8厘米，BM＝CM＝10厘米∴ 此时6t＝10∴；设点N的运动速度为v厘米/秒∴∴厘米 /秒；
（3）①若点M速度快则/s若点N速度快，则 故答案为5.6或6.8
题 号
一
二
三
总 分
分 数