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苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第11讲 微专题三 将军饮马模型（学生版+教师版）
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如图，A、B两点在直线l的同侧，求在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小。该种题型一般可以做A点或B点关于直线l的对称点，或，连接或，或交直线l于点P，使得PA+PB的值最小。
【典例1】如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．
【典例2】如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
模型提分训练
一、单选题
1．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．
C．D．
2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
3．如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
二、填空题
4．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．
5．如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______．
6．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
7．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
8．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是_______km．
三、解答题
9．如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．
（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；
（2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．
11．如图，铁路上、两站相距8km，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
12．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若点P为直线上一点，，求周长的最小值．
13．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′
∵ ∠ACB＝90°（已知）
∴ （垂直的定义）
∴ PB＝ （线段垂直平分线的性质）
∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质）
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，
在△ABC和△AB′C中，
∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， ∴ △ABC≌△AB′C（理由： ）
∴ S△ABB′＝S△ABC+ ＝2S△ABC（全等三角形面积相等）
∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D
又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48
∴ （同一三角形面积相等）
∴ B′D＝
∴
14．已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
如图，A、B两点在直线l的同侧，求在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小。该种题型一般可以做A点或B点关于直线l的对称点，或，连接或，或交直线l于点P，使得PA+PB的值最小。
【典例1】如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．
【典例2】如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
模型提分训练
一、单选题
1．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．
C．D．
2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
3．如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
二、填空题
4．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．
5．如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______．
6．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
7．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
8．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是_______km．
三、解答题
9．如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．
（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；
（2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．
11．如图，铁路上、两站相距8km，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
12．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若点P为直线上一点，，求周长的最小值．
13．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′
∵ ∠ACB＝90°（已知）
∴ （垂直的定义）
∴ PB＝ （线段垂直平分线的性质）
∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质）
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，
在△ABC和△AB′C中，
∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， ∴ △ABC≌△AB′C（理由： ）
∴ S△ABB′＝S△ABC+ ＝2S△ABC（全等三角形面积相等）
∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D
又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48
∴ （同一三角形面积相等）
∴ B′D＝
∴
14．已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
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