苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第07讲 频率与概率（学生版）

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知识精讲
知识点 频率与概率
1.概率
随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率。如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1。
所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件)。
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小。
2.频率
通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性。
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动。在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值。
【微点拨】
①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的。
【即学即练1】在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中摇匀，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图．
（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近________精确到，估计盒子里白球有________个，假如摸一次，摸到白球的概率为________；
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
【即学即练2】在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
（1）按表格数据格式，表中的______；______；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．
能力拓展
考法 由频率估计概率
【典例】某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格：______；______；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1）
（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？
分层提分
题组A 基础过关练
1．小明将贵州健康码打印在面积为的正方形纸上，如图所示为了估计图中健康码部分的面积，在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计健康码部分的面积约为（ ）
A．B．C．D．
2．新冠疫情发生以来，截止年月日为止，全球累计有人确诊，“”中出现数字“”的频率是（ ）
A．B．C．D．
3．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为（ ）
A．0.3B．0.7C．0.4D．0.6
4．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”，获得的数据如下表：
若抛掷硬币的次数为3 000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．1 000B．1 500C．2 000D．2 500
5．某此数学考试中，（1）班有30%的同学成绩优秀，（2）班有36%的同学成绩优秀，则两班优秀同学的人数（ ）
A．（1）班多B．（2）班多C．一样多D．无法比较
6．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( )
A．5B．6C．7D．8
7．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20B．300C．500D．800
8．某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布的游戏中小明随机出的是“剪刀”
B．暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4
D．掷一枚一元硬币,落地后正面朝上
题组B 能力提升练
1．嘉琪在做“抛一枚正六面体骰子”的实验时，他连续抛了10次，其中“6”点向上共出现3次，则出现“6”点向上的频率是（ ）
A．B．C．D．
2．在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值大约为（ ）
A．15B．20C．25D．30
3．一个不透明的袋子里有4个红球和若干个白球，每个球除颜色以外都相等，从袋中任意摸出一个球，记好颜色后放回，经过大量的摸球实验，摸到白球的频率在0.75附近摆动，则袋中白球的个数是（ ）
A．3B．8C．12D．16
4．有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（ ）
A．10个B．16个C．24个D．40个
5．抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A．可能有50次反面朝上B．每两次必有1次反面朝上
C．必有50次反面朝上D．不可能有100次反面朝上
6．小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（ ）
A．抽出的是“朝”字B．抽出的是“长”字
C．抽出的是独体字D．抽出的是带“氵”的字
7．在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，则估计袋子中的红球有___个．
8．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中有6个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出的值是____．
9．在一只不透明袋子里装有颜色不同的个球，这些球除去颜色外完全相同．每次从袋子里摸出个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在附近，则从这个袋子中摸到白球的概率估计值是______．
10．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
由此表估计这个射手射击1次，击中靶心的概率是_______．（保留一位小数）
题组C 培优拔尖练
1．某事件发生的概率为，则下列说法不正确的是（ ）
A．无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右
B．无数次实验中，该事件平均每次出现次
C．每做次实验，该事件就发生次
D．逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近
2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90B．0.82C．0.85D．0.84
3．小明在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率,并绘制了如图所示的统计图,则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
4．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50B．30C．12D．8
5．老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：
请你估计袋子中白球的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809．其中合理的是（ ）
A．①B．②C．①③D．②③
7．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个
8．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的组统计数据：
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____________；（精确到0.1）
（2）估算盒子里约有白球__________个；
（3）若向盒子里再放入个除颜色以外其它完全相同的球，这个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测可能是多少？
9．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的________，________；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是_________（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
10．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约为 ．（精确到0.1）
（2）估算盒子里有白球 个．
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其它完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，那么可以推测出x最有可能是 ．
课程标准
课标解读
1.理解事件的概率；
2.知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。
1.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义；
2.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题。
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到白球的频数n
63
a
247
365
484
606
摸到白球的频率
0.420
0.410
0.412
0.406
0.403
b
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画作品”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画作品”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
抛掷次数
100
500
1 000
1 500
2 000
正面朝上的频数
45
253
512
756
1 020
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
射击次数（）
10
20
50
100
200
500
…
击中靶心次数()
8
17
45
92
182
453
…
击中靶心频率（）
0.80
0.85
0.90
0.92
0.91
0.905
…
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
一组
二组
三组
四组
五组
六组
七组
八组
九组
十组
摸球的次数
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
摸到白球的次数
41
39
40
43
38
39
46
41
42
38
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.66
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
59
96
295
480
601
摸到白球的频率
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
70
128
171
302
481
599
903
摸到白球的频率
0.75
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602