苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第16讲 分式的乘除（学生版）

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知识精讲
知识点 分式的乘除
1.分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用字母表示为：，其中是整式，。
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，。
【微点拨】
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式。
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘。
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分。
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式。
2.分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
（为正整数）。
【微点拨】
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如。
【即学即练1】化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】利用分式的性质即可求出答案．
【解析】解：（1）



（2）


【即学即练2】先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解析】解：
，
当时，．
能力拓展
考法 分式的乘除法
【典例1】先化简，再求值：，其中．
【答案】，-10
【分析】根据分式的减法运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解析】解：
＝
＝
＝.
当x＝5时，
原式＝＝-10.
【典例2】阅读材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，abc，…；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和ab，像，等对称式都可以用，ab表示，例如：，请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子①，②，③，④中，属于对称式的是______．（填序号）
(2)已知
①若，，求对称式的值；
②若，求对称式的最小值．
【答案】(1)①③ (2)①－6；②－2
【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，
（2）已知．则，，①，，利用整式变形可求出的值；②若时，变形，可以求出最小值．
【解析】(1)解：根据“对称式”的意义，得①③是“对称式”，
故答案为：①③；
(2)解：∵，
∴，，
①，
∵，，
∴，
②，
，
∵，
∴，
∴或，
当时，原式，
当时，原式，
∴对称式的最小值为－2．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的运算法则逐项计算即可判断．
【解析】解：A. ，原选项错误，不符合题意；B. ，原选项错误，不符合题意；C. ，原选项错误，不符合题意；D. ，原选项正确，符合题意；故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据整式和分式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：A、，故A选项错误．B、，故B选项错误．C、，故C选项错误．D、，故D选项正确．故选：D．
3．化简2x÷的结果是（ ）
A．2B．2xyC．D．
【答案】C
【分析】先将除法转化为乘法，再计算，即可求解．
【解析】解：． 故选：C
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、分式运算法则分别化简得即可．
【解析】解：A．，故此选项错误，不符合题意；B．，故此选项错误，不符合题意；C．，故此选项错误，不符合题意；D．，故此选项正确，符合题意．故选：D．
5．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出两个分式的乘积，然后根据分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可．
【解析】解： ，故选D．
6．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的运算法则即可求解．
【解析】
，
故选：D．
7．化简：______．
【答案】1
【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式=
=
=1
故答案为：1．
8．计算的结果是_____．
【答案】
【分析】先把除法转化为乘法，再约分，即可得到答案.
【解析】解：


故答案为：
9．计算的结果是____．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则化简即可求解．
【解析】
=
=
=
故答案为：．
10．（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________．
【答案】
【分析】根据分式乘方的运算法则计算即可；
【解析】解：（1），
（2）
（3），
（4），
故答案为：，，
题组B 能力提升练
1．用替换分式中的n后，经过化简结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入进行化简即可得到答案．
【解析】由题意得，
故选：A．
2．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的运算进行计算即可，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质计算即可
【解析】
故选B
3．计算：（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分解因式，再约分．
【解析】解：原式，故选：C．
4．已知实数a，b满足，则的值为（ ）
A．0或2B．0或-2C．-2D．0
【答案】A
【分析】根据，可得 ，从而得到，进而得到 或 ，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，即，
∴，
∴ ，
∴ 或
∴ 或 ，
∴当时， ，
∴，
当时，，
∴，
∴的值为0或2．故选：A
5．下列运算结果为x﹣y的是（ ）
A．B．
C．÷D．
【答案】B
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：A.＝，故选项A不符合题意；B.＝＝x﹣y，故选项B符合题意；C.÷＝＝，故选项C不符合题意；D.＝，故选项D不符合题意；故选：B．
6．下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a2+a2＝2a4C．D．a2a3
【答案】D
【分析】根据整式的加减乘除运算法则及分式的运算法则逐个判断即可．
【解析】解：选项A：a2•a3＝a5，故选项A错误；选项B：a2+a2＝2a2，故选项B错误；选项C：，故选项C错误；选项D：，故选项D正确；故选：D．
7．化简：______．
【答案】
【分析】原式从左至右依次进行计算即可．
【解析】解：
=
=．
故答案为：．
8．计算的结果是_____．
【答案】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果即可．
【解析】解：
．
故答案为：．
9．化简：＝_________．
【答案】
【分析】根据分式的乘法和除法法则进行计算即可．
【解析】解：
．
10．当时，式子的值为________．
【答案】-1
【分析】先将原式括号内通分计算，再将两因式分子、分母因式分解，约分后代入求值即可．
【解析】解：
=
=
=
=
∵
∴
∴原式=1-2=-1
故答案为：-1．
题组C 培优拔尖练
1．化简，正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式混合运算法则进行化简即可．
【解析】解：
=
=
=
=，
故选：C．
2．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2）…，则a2021＝（ ）
A．xB．x+1C．﹣D．
【答案】C
【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则a2021等于a2的值．
【解析】解：由a1=x+1（x≠0或x≠-1），
所以，
，
a4=1÷（1-a3）=x+1，
…，
∵2021÷3=673⋯⋯2，
∴，
故选：C．
3．下列选项描述错误的是（ ）
A．若，则 3
B．
C．把分式中x，y的值都扩大3倍，所得分式的值不变
D．
【答案】A
【分析】A、对已知条件进行变形，然后将已知式子的值代入化简即可得；B、先对已知式子化简，然后将得到的关系式代入分式化简即可；C、把x，y的值都扩大3倍代入分式进行化简即可得；D、分式小于0，则分子和分母异号，分子小于0，则分母大于0，求解即可得．
【解析】
4．若，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】等式左边通分并利用同分母分式的减法法则化简，然后根据系数相等求出m和n．
【解析】解：
∵，
∴
∴3M-2N=5，2M+N=8，
解得：M=3，N=2，
故选：C．
5．若数a与其倒数相等，则的值是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】先将分子分母中能分解因式的分别分解因式，再根据分式的除法运算法则化简原式，最后根据已知条件可得a＝±1，进而代入计算即可求得答案．
【解析】解：原式
，
∵数a与其倒数相等，
∴a＝±1，
∴原式
，
故选：A．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将a1=x+1代入a2=1÷（1-a1）中计算，求出a2的值，同理求出a3，a4，a5，a6，a7的值，找出规律为三个值一循环，再由2012除以3的余数为2，根据规律即可得到a2020的值．
【解析】解：由，
得；
；
；
，
．
故选：C．
7．先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用分式的加减法和乘除法对分式进行计算和化简，再把x＝2022代入计算即可得出结果．
【解析】解：
当时，原式．
8．先化简，再求值：，然后从-2，-1，0中选择适当的数代入求值．
【答案】，2
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解析】解：
=
=
=
∵
∴
∴原式=
9．已知．
(1)若，，则______，______；
(2)若，，求的值；
(3)若，求的最小值．
【答案】(1)；；
(2)的值为；
(3)的最小值为4．
【分析】（1）将，代入化简，然后对应的系数相等，即可得；
（2）将，代入可得，，使相应系数相等可得，，将代数式化简为，代入求解即可；
（3）根据（2）可得，将化简为，可得，即可得出最小值．
【解析】(1)解：当，时，
，
∴，，
故答案为：；；
(2)解：当，时，
，
，
∴，，
∴，
∴的值为；
(3)解：∵，
∴由（2）得，
，
，
，
，
当时，
原式，
当时，取得最小值，最小值为4．
10．阅读材料，并解决问题，我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式；
假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式．如：，
再如：
这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式（）与一个分式（）的差）的形式．
(1)判断：是真分式还是假分式？________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将“假分式”化成带分式的形式；
(3)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？
【答案】(1)假分式
(2)
(3)0
【分析】（1）根据题意判断，即可求解；
（2）利用完全平方公式化简分子，即可求解；
（3）分式若为整数则真分式的值要为整数，即可求解；
【解析】(1)解：分子次数等于分母次数，
故：是假分式；
(2)解：原式=；
(3)原式=，
当x=0时，真分式为整数
课程标准
课标解读
能进展简单的分式加、减、乘、除运算。
1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则；
2.会分式的乘法、除法运算；
3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算。