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苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第03讲 一元二次方程的根与系数关系（学生版+教师版）
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这是一份苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第03讲 一元二次方程的根与系数关系（学生版+教师版），文件包含苏科版九年级数学上册同步精品讲义第03讲一元二次方程的根与系数关系教师版docx、苏科版九年级数学上册同步精品讲义第03讲一元二次方程的根与系数关系学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【即学即练1】若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x1+x2 的值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣6D．6
【即学即练2】关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A．B．C．1D．
知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用
1.验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
2.已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
3.不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
4.已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是
.
5.已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
6.利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
【即学即练3】已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0B．－10C．3D．10
【即学即练4】设方程两个根为、，则（ ）
A．B．C．D．
能力拓展
考法 一元二次方程的根与系数的关系
【典例1】关于的方程，，是方程的两个根，设，则当的值为2时，______．
【典例2】设a、b是方程的两实数根，则______．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0B．2C．1D．－1
2．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2022B．-2022C．2020D．-2020
3．方程的两根为，则等于（ ）
A．4B．－4C．3D．－3
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一个根是3，则它的另一个根为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．一元二次方程的两根之和为（ ）
A．－5B．5C．－4D．4
6．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ）
A．1和6B．5和C．和6D．5和6
题组B 能力提升练
1．关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则_________．
2．设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，则a+b﹣ab＝_____．
3．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是______．
4．若，是方程的两个根，则的值是______．
5．已知一元二次方程的两根分别为，则的值等于_______．
6．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
7．对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____．
8．已知是方程的一个根，那么此方程的另一个根为______．
题组C 培优拔尖练
1．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3B．3C．－5D．5
2．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（ ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③B．①②C．②③D．①③
3．若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
4．方程与的所有根的和为______．
5．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
6．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
7．如果一元二次方程的两个根为，，则______．
8．已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2＋15，求k的值．
9．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
10．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：
(1)以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；
(2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；
(3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程是倍根方程，求此倍根方程．
11．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列两个方程是“差根方程”是： （填序号）
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
课程标准
课标解读
知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
2.了解一元二次方程的根与系数的关系，在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想。
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知识精讲
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【即学即练1】若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x1+x2 的值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣6D．6
【即学即练2】关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A．B．C．1D．
知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用
1.验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
2.已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
3.不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
4.已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是
.
5.已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
6.利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
【即学即练3】已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0B．－10C．3D．10
【即学即练4】设方程两个根为、，则（ ）
A．B．C．D．
能力拓展
考法 一元二次方程的根与系数的关系
【典例1】关于的方程，，是方程的两个根，设，则当的值为2时，______．
【典例2】设a、b是方程的两实数根，则______．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0B．2C．1D．－1
2．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2022B．-2022C．2020D．-2020
3．方程的两根为，则等于（ ）
A．4B．－4C．3D．－3
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一个根是3，则它的另一个根为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．一元二次方程的两根之和为（ ）
A．－5B．5C．－4D．4
6．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ）
A．1和6B．5和C．和6D．5和6
题组B 能力提升练
1．关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则_________．
2．设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，则a+b﹣ab＝_____．
3．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是______．
4．若，是方程的两个根，则的值是______．
5．已知一元二次方程的两根分别为，则的值等于_______．
6．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
7．对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____．
8．已知是方程的一个根，那么此方程的另一个根为______．
题组C 培优拔尖练
1．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3B．3C．－5D．5
2．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（ ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③B．①②C．②③D．①③
3．若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
4．方程与的所有根的和为______．
5．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
6．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
7．如果一元二次方程的两个根为，，则______．
8．已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2＋15，求k的值．
9．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
10．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：
(1)以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；
(2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；
(3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程是倍根方程，求此倍根方程．
11．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列两个方程是“差根方程”是： （填序号）
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
课程标准
课标解读
知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
2.了解一元二次方程的根与系数的关系，在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想。
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