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苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第07讲 确定圆的条件（学生版+教师版）
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知识精讲
知识点01 确定圆的条件
确定圆的条件：不在同一直线的三点确定一个圆。
外心概念：三角形的三个顶点确定一个圆，改圆称为该三角形的外接圆，三角形称为圆的内接三角形。
外接圆的圆心称为三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点。
掌握过不在同一直线上三点作圆的尺规作图方法。
【微点拨】
1.定理： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2.三角形的外接圆．
3.定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，
4.这个三角形叫做这个圆的内接三角形
5.三角形的外心:
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
【即学即练1】下列命题正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等
【答案】C
【解析】解：A．两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；
B．多边形的外角和是360°，故选项错误，不符合题意；
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意；
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行或者在同一条直线上，并且相等，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【即学即练2】如图，⊙是的外接圆，则点是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
【答案】B
【解析】∵⊙O是三角形的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点.
故选：B.
能力拓展
考法01 三角形的外接圆
【典例1】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角角平分线的交点是三角形的内心，故为假命题，不符合题意；
B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不符合题意；
C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故为假命题，不符合题意；
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，为真命题，符合题意．
故选D．
考法02 尺规作图：三角形的外接圆
【典例2】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
①作线段的垂直平分线；②作线段的垂直平分线，交于点；③以为圆心，长为半径作．
结论Ⅰ：点是的内心．
结论Ⅱ：．
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】B
【解析】由作图可知，点O为三角形三边垂直平分线的交点，因此点O为三角形的外心，与不一定相等，所以结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对，故B正确．
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列判断中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆
【答案】C
【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；
B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；
C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；
D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；
故选C．
2．下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【解析】解：A. 已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；
故选：C．
3．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（ ）
A．①B．②C．③D．均不可能
【答案】A
【解析】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
4．Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r＝5cm，则斜边AB的长是（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
【答案】A
【解析】解：∴Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r＝5cm，
∴斜边AB＝2r＝10cm，
故选：A．
5．∆ABC的三边长分别为6,8,10，则∆ABC的外接圆的半径为 _______ .
【答案】5
【解析】解：∵62＋82=102
∴∆ABC是直角三角形，
∴∆ABC的外接圆的半径=斜边=5
故答案为5.
6．如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．
【答案】（2，0）
【解析】解：如图所示：D（2，0），
故答案为：（2，0）．
7．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
【答案】线段的垂直平分线的性质
【解析】解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
8．已知△ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x2 14 x 48 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_______________．
【答案】5
【解析】解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，
即△ABC的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°
∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，
则该圆形纸片正好是△ABC的外接圆，
∴△ABC的外接圆的半径是AB=5，
故答案为5．
题组B 能力提升练
1．下列各命题中，真命题是（ ）
A．两点之间，射线最短B．不在同一直线上的三个点确定一个圆
C．对角线相等的四边形是矩形D．三角形的外心是三角形三条高的交点
【答案】B
【解析】解：A、两点之间线段最短，故该项不是真命题；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故该项是真命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故该项不是真命题；
D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故该项不是真命题；
故选：B．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等B．四边形的外角和为180°
C．等腰三角形两腰上高相等D．平面内任意三点都可以在同一个圆上
【答案】C
【解析】解：A、内错角不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、四边形的外角和为360°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、等腰三角形两腰上高相等，故原命题正确，是真命题，符合题意；
D、平面内不在同一条直线的三点可以在同一个圆上，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选C．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）
【答案】B
【解析】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，
∴点M为AC中点，
∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），
设点C横坐标为（x,y）,
∴，
解得x=-5，y=-2，
∴点C（-5，-2），
∵AB⊥x轴，
∴点A，B的横坐标相同都是3，
∵∠ABC＝90°，
∴BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标相同都是-2，
∴点B（3，-2）．
故选：B．
4．如图所示，在的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（ ）
A．外心B．重心C．中心D．内心
【答案】A
【解析】解：∵
∴O是△ABD的外心
故选A
5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______．
【答案】
【解析】解：，
，
解得，
当时，不能构成三角形；
当时，，
这个三角形是斜边为5的直角三角形，
该三角形外接圆的半径为，
故答案为：．
6．如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于________．
【答案】5
【解析】解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
即可知道点到点A，B，C的距离相等，
如下图：
，
，
故答案是：5．
7．经过两点可以做______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆．
【答案】 无数 三
【解析】解：经过两点可以做无数个圆，
不在同一直线的三个点可以确定一个圆，
故答案为：无数，三．
8．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为_______．
【答案】(2，0)【解析】∵，，
∴AB的垂直平分线为
设圆心为
∵点O也在BC的垂直平分线上，
∴
根据勾股定理得
解得
∴圆心坐标为
故答案为：(2，0)．
9．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．
【答案】见解析
【解析】解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆．
10．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹）
（1）在图①中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图②中过点A作线段BC的中垂线．
【答案】（1）如图①中，线段EF即为所求．见解析；（2）如图②中，直线AG即为所求．见解析.
【解析】解：（1）如图①中，线段EF即为所求．
（2）如图②中，直线AG即为所求．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E在AB上，=，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．4B．2C．2-2D．2-4
【答案】C
【解析】解：∵AB=，=，
∴，，
如图，以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，
∵ △BEF为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴OH垂直平分BE，
∴∠OBH=30°，，
∴OH=，，
∴DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=，
在Rt△DOG中，，
∴，
故选：C．
2．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连结CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论：①∠ADC＝40°②∠ACD＝70°③点D为△ABC的外心④∠ACD＝90°，正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】由题意可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠CBD＝40°，故A选项正确；
又∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD＝70°，故B选项正确，D选项错误；
∵AD＝CD，BD＝CD，
∴AD＝BD，即D是AB的中点，故C选项正确；
故选B．
3．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①②B．①②③C．②③D．①③
【答案】C
【解析】经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故选C.
4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在上，若点P是的一个动点，则面积的最大值是______．
【答案】
【解析】解：连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，
由图可知，
∴，
∴，
∵要使△APB的面积最大，即点P到AB的距离要最大，
∴当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大，
∴此时，
故答案为：．
5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．
（Ⅰ）四边形外接圆的半径为__________．
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
【答案】 取格点，连接，交于点．连接并延长交圆于点，连接即为所求．
【解析】解：（Ⅰ）四边形ABCD外接圆的圆心位于格点O的位置，连接OA，OB，OC，OD，
由题意可得OA=OB=OC=OD=
故答案为：
（Ⅱ）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，
由格点特征结合四边形外接圆的半径可得△EFK≌△ODG，
∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD
∴点P是的中点
∴∠CAP=∠DAP
∴即为所求
6．如图，点是外心，，是的中点，
（1）连接，则______；
（2）若，是边上的高，则的大小为______．
【答案】 30° 23°
【解析】解：（1）如图1，连接OC，
点是外心，
OA=OB=OC，
，，，
，，
．
故答案为：30°；
（2）如图2，连接OC，
OB=OC，是的中点，
=30°，，，
=90°-30°=60°，
，
，，，，，
，
，
是边上的高，
．
故答案为：23°．
7．如图，点是的边上一点，，，相交于点．
(1)求证：；
(2)若．
①当时，求的度数；
②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②
【分析】(1)证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
(2)解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②．
∵的外心在其内部，
∴为锐角三角形，
∴，，
∴．
8．如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）直接写出与△ABC关于原点O成中心对称图形的△A2B2C2的点C2的坐标（ ）
（2）画出△ABC的外接圆圆D，（用适当的方法找到圆心），并写出其圆心点D的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A1（0，-4），B1（3，-3），C1（3，-1）；（2）（1，3）；（3）圆D见解析，D（-2，-1）
【解析】解：（1）△A1B1C1如图所示．A1（0，-4），B1（3，-3），C1（3，-1）．
（2）∵C（-1，-3），
∴关于原点O成中心对称图形的点C2的坐标为（1，3）；
（3）△ABC的外接圆如图所示，
圆心D的坐标为（-2，-1）．
9．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)解：（1）如图：
(2)．
理由：连接DF，EG如图所示
则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均为等边三角形
∴
∵
∴
课程标准
课标解读
能用尺规作图过不在同一直线上的三点作圆作三角形的外接圆
1.了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。
2.理解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，为直角．
以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；
以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；
再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；
作射线，．
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知识精讲
知识点01 确定圆的条件
确定圆的条件：不在同一直线的三点确定一个圆。
外心概念：三角形的三个顶点确定一个圆，改圆称为该三角形的外接圆，三角形称为圆的内接三角形。
外接圆的圆心称为三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点。
掌握过不在同一直线上三点作圆的尺规作图方法。
【微点拨】
1.定理： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2.三角形的外接圆．
3.定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，
4.这个三角形叫做这个圆的内接三角形
5.三角形的外心:
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
【即学即练1】下列命题正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等
【答案】C
【解析】解：A．两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；
B．多边形的外角和是360°，故选项错误，不符合题意；
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意；
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行或者在同一条直线上，并且相等，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【即学即练2】如图，⊙是的外接圆，则点是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
【答案】B
【解析】∵⊙O是三角形的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点.
故选：B.
能力拓展
考法01 三角形的外接圆
【典例1】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角角平分线的交点是三角形的内心，故为假命题，不符合题意；
B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不符合题意；
C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故为假命题，不符合题意；
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，为真命题，符合题意．
故选D．
考法02 尺规作图：三角形的外接圆
【典例2】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
①作线段的垂直平分线；②作线段的垂直平分线，交于点；③以为圆心，长为半径作．
结论Ⅰ：点是的内心．
结论Ⅱ：．
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】B
【解析】由作图可知，点O为三角形三边垂直平分线的交点，因此点O为三角形的外心，与不一定相等，所以结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对，故B正确．
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列判断中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆
【答案】C
【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；
B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；
C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；
D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；
故选C．
2．下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【解析】解：A. 已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；
故选：C．
3．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（ ）
A．①B．②C．③D．均不可能
【答案】A
【解析】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
4．Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r＝5cm，则斜边AB的长是（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
【答案】A
【解析】解：∴Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r＝5cm，
∴斜边AB＝2r＝10cm，
故选：A．
5．∆ABC的三边长分别为6,8,10，则∆ABC的外接圆的半径为 _______ .
【答案】5
【解析】解：∵62＋82=102
∴∆ABC是直角三角形，
∴∆ABC的外接圆的半径=斜边=5
故答案为5.
6．如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．
【答案】（2，0）
【解析】解：如图所示：D（2，0），
故答案为：（2，0）．
7．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
【答案】线段的垂直平分线的性质
【解析】解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
8．已知△ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x2 14 x 48 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_______________．
【答案】5
【解析】解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，
即△ABC的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°
∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，
则该圆形纸片正好是△ABC的外接圆，
∴△ABC的外接圆的半径是AB=5，
故答案为5．
题组B 能力提升练
1．下列各命题中，真命题是（ ）
A．两点之间，射线最短B．不在同一直线上的三个点确定一个圆
C．对角线相等的四边形是矩形D．三角形的外心是三角形三条高的交点
【答案】B
【解析】解：A、两点之间线段最短，故该项不是真命题；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故该项是真命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故该项不是真命题；
D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故该项不是真命题；
故选：B．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等B．四边形的外角和为180°
C．等腰三角形两腰上高相等D．平面内任意三点都可以在同一个圆上
【答案】C
【解析】解：A、内错角不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、四边形的外角和为360°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、等腰三角形两腰上高相等，故原命题正确，是真命题，符合题意；
D、平面内不在同一条直线的三点可以在同一个圆上，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选C．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）
【答案】B
【解析】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，
∴点M为AC中点，
∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），
设点C横坐标为（x,y）,
∴，
解得x=-5，y=-2，
∴点C（-5，-2），
∵AB⊥x轴，
∴点A，B的横坐标相同都是3，
∵∠ABC＝90°，
∴BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标相同都是-2，
∴点B（3，-2）．
故选：B．
4．如图所示，在的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（ ）
A．外心B．重心C．中心D．内心
【答案】A
【解析】解：∵
∴O是△ABD的外心
故选A
5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______．
【答案】
【解析】解：，
，
解得，
当时，不能构成三角形；
当时，，
这个三角形是斜边为5的直角三角形，
该三角形外接圆的半径为，
故答案为：．
6．如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于________．
【答案】5
【解析】解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
即可知道点到点A，B，C的距离相等，
如下图：
，
，
故答案是：5．
7．经过两点可以做______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆．
【答案】 无数 三
【解析】解：经过两点可以做无数个圆，
不在同一直线的三个点可以确定一个圆，
故答案为：无数，三．
8．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为_______．
【答案】(2，0)【解析】∵，，
∴AB的垂直平分线为
设圆心为
∵点O也在BC的垂直平分线上，
∴
根据勾股定理得
解得
∴圆心坐标为
故答案为：(2，0)．
9．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．
【答案】见解析
【解析】解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆．
10．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹）
（1）在图①中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图②中过点A作线段BC的中垂线．
【答案】（1）如图①中，线段EF即为所求．见解析；（2）如图②中，直线AG即为所求．见解析.
【解析】解：（1）如图①中，线段EF即为所求．
（2）如图②中，直线AG即为所求．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E在AB上，=，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．4B．2C．2-2D．2-4
【答案】C
【解析】解：∵AB=，=，
∴，，
如图，以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，
∵ △BEF为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴OH垂直平分BE，
∴∠OBH=30°，，
∴OH=，，
∴DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=，
在Rt△DOG中，，
∴，
故选：C．
2．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连结CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论：①∠ADC＝40°②∠ACD＝70°③点D为△ABC的外心④∠ACD＝90°，正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】由题意可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠CBD＝40°，故A选项正确；
又∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD＝70°，故B选项正确，D选项错误；
∵AD＝CD，BD＝CD，
∴AD＝BD，即D是AB的中点，故C选项正确；
故选B．
3．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①②B．①②③C．②③D．①③
【答案】C
【解析】经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故选C.
4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在上，若点P是的一个动点，则面积的最大值是______．
【答案】
【解析】解：连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，
由图可知，
∴，
∴，
∵要使△APB的面积最大，即点P到AB的距离要最大，
∴当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大，
∴此时，
故答案为：．
5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．
（Ⅰ）四边形外接圆的半径为__________．
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
【答案】 取格点，连接，交于点．连接并延长交圆于点，连接即为所求．
【解析】解：（Ⅰ）四边形ABCD外接圆的圆心位于格点O的位置，连接OA，OB，OC，OD，
由题意可得OA=OB=OC=OD=
故答案为：
（Ⅱ）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，
由格点特征结合四边形外接圆的半径可得△EFK≌△ODG，
∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD
∴点P是的中点
∴∠CAP=∠DAP
∴即为所求
6．如图，点是外心，，是的中点，
（1）连接，则______；
（2）若，是边上的高，则的大小为______．
【答案】 30° 23°
【解析】解：（1）如图1，连接OC，
点是外心，
OA=OB=OC，
，，，
，，
．
故答案为：30°；
（2）如图2，连接OC，
OB=OC，是的中点，
=30°，，，
=90°-30°=60°，
，
，，，，，
，
，
是边上的高，
．
故答案为：23°．
7．如图，点是的边上一点，，，相交于点．
(1)求证：；
(2)若．
①当时，求的度数；
②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②
【分析】(1)证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
(2)解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②．
∵的外心在其内部，
∴为锐角三角形，
∴，，
∴．
8．如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）直接写出与△ABC关于原点O成中心对称图形的△A2B2C2的点C2的坐标（ ）
（2）画出△ABC的外接圆圆D，（用适当的方法找到圆心），并写出其圆心点D的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A1（0，-4），B1（3，-3），C1（3，-1）；（2）（1，3）；（3）圆D见解析，D（-2，-1）
【解析】解：（1）△A1B1C1如图所示．A1（0，-4），B1（3，-3），C1（3，-1）．
（2）∵C（-1，-3），
∴关于原点O成中心对称图形的点C2的坐标为（1，3）；
（3）△ABC的外接圆如图所示，
圆心D的坐标为（-2，-1）．
9．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)解：（1）如图：
(2)．
理由：连接DF，EG如图所示
则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均为等边三角形
∴
∵
∴
课程标准
课标解读
能用尺规作图过不在同一直线上的三点作圆作三角形的外接圆
1.了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。
2.理解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，为直角．
以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；
以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；
再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；
作射线，．
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