2023北京大兴高一（上）期末考试数学试卷（教师版）

这是一份2023北京大兴高一（上）期末考试数学试卷（教师版），共14页。

考生须知：
1．本试卷共4页，共两部分，21道小题．满分150分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 等于（ ）
A. B. C. D. 1
2. 若集合，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则M，N的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则等于（ ）
A B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A B. C. D.
8. “”是“函数存在零点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 在平面直角坐标系中，角均以为始边，的终边过点，将的终边关于x轴对称得到角的终边，再将的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 声音的等级（单位：）与声音强度x（单位：）满足．若喷气式飞机起飞时，声音的等级约为，一般人说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角．
12. 已知幂函数的图象经过点，则___________．
13 已知函数，则___________；___________．
14. 若直角三角形斜边长等于12，则该直角三角形面积的最大值为___________；周长的最大值为___________．
15. 设函数的定义域为D，若，存在唯一的，使（a为常数）成立，则称函数在D上的均值为a．给出下列4个函数：
①；②；③；④．
其中，所有满足在定义域上的均值为2的函数序号为___________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知命题．
（1）写出命题p的否定；
（2）判断命题p的真假，并说明理由，
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）比较与的大小．
19. 已知函数的图象如图所示．
（1）函数的图象的序号是___________；的图象的序号是___________；
（2）在同一直角坐标系中，利用已有图象画出的图象，直接写出关于x的方程在中解的个数；
（3）分别描述这三个函数增长的特点．
20. 已知函数
（1）求的值；
（2）判断奇偶性，并说明理由；
（3）判断单调性，并说明理由．
21. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由．
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式以及特殊角的正切值即可求解.
【详解】．
故选：D．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系可判断A，求出可判断BC；求出可判断D.
【详解】，，，故A错误；
，所以，故B错误，C正确；
，故D错误
故选：C.
3. 【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶函数定义即可判断每个选项
【详解】对于A，令，其定义域为，且，
所以为偶函数，故A不正确；
对于B，令，其定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B不正确；
对于A，令，其定义域为，且，
所以为偶函数，故C不正确；
对于A，令，其定义域为，且，
所以为奇函数，故D正确；
故选：D
4. 【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法即可判断M，N的大小
【详解】因为 ，
所以，
故选：C
5. 【答案】A
【解析】
【分析】由题知，再根据诱导公式求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以
故选：A
6. 【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数函数的单调性，将与比大小，与比大小，即可求出结论
【详解】因为，
所以
故选：B
7. 【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的图像性质可判断ABC，利用周期的定义可判断D
【详解】对于A，的最小正周期为，故A不正确；
对于B，的最小正周期为，故B不正确；
对于C，的最小正周期为，故C正确；
对于D，因为，故D不正确，
故选：C
8. 【答案】C
【解析】
【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】若函数存在零点，则有实数解，即有实数解，
因为，所以，而，由得，
则“”是“函数存在零点”的充分必要条件.
故选：C
9. 【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的定义得到，继而得到，通过题意可得到，利用诱导公式即可求解
【详解】因为的终边过点，且，所以，
因为的终边与角的终边关于x轴对称，所以，
因为角终边是的终边绕原点按逆时针方向旋转得到，所以，
所以，
故选：D
10. 【答案】B
【解析】
【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般人说话时声音强度分别为，根据题意得出，，计算求的值.
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般人说话时声音强度分别为，
，解得，
，解得，所以，
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的倍.
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 【答案】第三象限角
【解析】
【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，
可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，
则α是第三象限角．
考点：三角函数值的象限符号.
12. 【答案】4
【解析】
【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．
【详解】设，则，，即，
所以．
故答案为：4
13. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接根据分段函数解析式计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以．
故答案为：；．
14. 【答案】 ①. 36； ②.
【解析】
【分析】由条件，利用基本不等式可求面积的最大值和周长的最大值.
【详解】设两条直角边的边长分别为，则，，，
由基本不等式可得，故即，当且仅当时等号成立，故直角三角形面积的最大值为，
又，，所以，即，当且仅当时等号成立，所以直角三角形周长的最大值为，
故答案为：36， .
15. 【答案】①③
【解析】
【分析】对于①③根据定义给定任意一个求出判断是否存在定义域内，是否唯一.
对于②根据定义得知周期函数不符合题意.
对于④特殊值验证不成立.
【详解】对于函数①，取任意的，
可以得到唯一的，故满足条件，所以①正确；
对于函数②，因为是上的周期函数，存在无穷个，使成立，故不满足题意，所以②不正确；
对于函数③，定义域，值域为，且单调，必存在唯一使成立，故满足题意，所以③正确；
对于函数④定义域为，值域为对于要使成立，则不成立，所以④不正确.
故答案为：①③
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 【答案】（1）
（2）假，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据全称命题的否定为特称命题即可求解；
（2）因为即可判断命题
【小问1详解】
由命题，
可得命题p的否定为，
【小问2详解】
命题为假命题，
因为（当且仅当时取等号），
故命题为假命题
17. 【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数之间的关系即可求解，
（2）根据诱导公式以及弦切互化关系即可求解.
【小问1详解】
由得，所以
，，
【小问2详解】
18. 【答案】（1）
（2）最大值为1，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据周期的计算公式即可求解，
（2）根据整体法求解函数的值域，即可求解最值，
（3）代入求值，结合正弦函数的性质即可求解，
【小问1详解】
由知：周期，
故的最小正周期为
【小问2详解】
由于，则，因此，故，所以在区间上最大值为1，最小值为
【小问3详解】
，
，
由于，所以，
因此，，
故
19. 【答案】（1）①；③ （2）图象见解析；解得个数为0
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用指数函数，对数函数的单调性和定点进行判断即可；
（2）由于，该函数与关于轴对称，故画出对应图象，看作是和的交点个数，通过画图观察即可；
（3）根据图象特征进行描述即可
【小问1详解】
函数为单调递增的指数函数，恒过定点，故为序号①；
函数为单调递增的对数函数，恒过定点，故为序号③；
【小问2详解】
因为，所以该函数与关于轴对称，如图所示
方程解个数即解得个数，
可看作是和的交点个数，
由于与关于轴对称，画出图象，
从图像可得两个函数在没有交点，故在中解的个数0；
【小问3详解】
函数的图象是下凸的，所以其增长特点：先缓后快；
函数的图象是直线，所以其增长特点：匀速增长；
函数的图象是上凸的，所以其增长特点：先快后缓
20. 【答案】（1）
（2）奇函数，理由见解析
（3）在上为减函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解；
（2）先求出函数定义域，然后利用奇偶性的定义进行判断即可；
（3）根据函数单调性定义进行判断即可
【小问1详解】
因为，
所以
【小问2详解】
为奇函数
证明：要使有意义，只需，解得，所以的定义域为；
又，所以为奇函数，
【小问3详解】
在上为减函数.
证明：任取且，
则，
∵ ，
∴，
得，得到，
∴在上为减函数
21. 【答案】（1）“上位点”为，“下位点”为；
（2）是，证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.
（2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”.
（3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值.
【小问1详解】
根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和；
【小问2详解】
点是点的“下位点”，
证明：点是点的“上位点”，
又均大于， ，
，即，
所以点是点的“下位点”.
【小问3详解】
可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：点是点的“上位点”，
均大于， ，
，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”．
根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立，
根据上述的结论可知，当，时，满足条件.
故：
【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.