2023北京十二中高一（上）期末考试数学试卷（教师版）

这是一份2023北京十二中高一（上）期末考试数学试卷（教师版），共15页。

一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，那么（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
3. 已知弧长为的扇形圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”成立的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 若对任意的都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 设是定义域为偶函数，且在上单调递增，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列结论中错误的是（ ）
A. 终边经过点的角的集合是
B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；
C. ，，则；
D. 若是第三象限角，则是第二象限角．
11. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：，）（ ）
A 3B. 4C. 5D. 7
12. 定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，且对任意，有，，则方程实数根的个数为（ ）
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题．本大题共6小题，每小题5分，共30分．
13. ______．
14. 函数的定义域是__________．
15. 已知函数可用列表法表示如下，则的值是______．
16. 已知，，，为锐角，则的值是______．
17. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数，，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．已知函数满足利普希茨条件，则常数的可能取值是______．（写出一个满足条件的值即可）
18. 已知函数（其中，），，恒成立，且在区间上单调，给出下列命题：
①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3．
其中正确的命题有______．
三、解答题．本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19 已知角终边上一点．
（1）求和的值；
（2）求的值．
20. 已知函数，且.
（Ⅰ）若，求a的值.
（Ⅱ）若在上的最大值与最小值的差为1，求a的值.
21. 已知函数
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间上的最值．
22. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）对于任意，恒成立，求的取值范围．
23. 已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质．
（1）已知函数，判断否具有性质，并说明理由；
（2）求证：任取，函数，具有性质；
（3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围．
参考答案
第一部分 选择题（共60分）
一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合，再根据集合间的运算关系即可求解.
【详解】，，，.
故选：B
2. 【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B，利用作差法判断D.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：若，，则，故B正确；
对于C：当时满足，但，故C错误；
对于D：若，，则，．所以，所以，故D错误．
故选：B．
3. 【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解.
【详解】解：设扇形的半径为，
因为弧长为的扇形圆心角为，
所以，所以，
所以此扇形面积为.
故选：C.
4. 【答案】C
【解析】
【分析】由函数，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可求解.
【详解】函数，可得函数在上单调递增，
因为，，，，，所以，
所以函数的零点所在区间为.
故选：C.
5. 【答案】B
【解析】
【分析】
由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.
【详解】当时，一定有，即必要性满足；
当时，其正切值不存在，所以不满足充分性；
所以“”是“”成立的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况.
6. 【答案】A
【解析】
分析】
利用基本不等式，可求得最小值，即可求得答案.
【详解】因为，则，
当且仅当，即x=1时等号成立，
所以，
故选：A
7. 【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性结合当时函数值的符号性分析判断.
【详解】∵，即，
∴为偶函数；
又∵当时，则，故，
∴；
综上所述：A正确，B、C、D错误.
故选：A.
8. 【答案】C
【解析】
【分析】对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果.
【详解】函数的定义域为等价于恒成立，
当时，显然不恒成立；
当时，由，得，
综上，实数的取值范围为．
故选：C．
9. 【答案】C
【解析】
【分析】先根据指对数判断的大小关系，在根据单调性结合偶函数的性质分析判断.
【详解】∵，，∴.
又函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，
∴，且在上单调递减.
又，∴.
故选：C.
10. 【答案】D
【解析】
【分析】根据终边相同的角的集合的概念以及特征可判断AC；定义根据角的概念可判断B；由象限角的概念可判断D.
【详解】终边经过点，则该终边为第一象限角平分线，
即角的集合是，故A正确；
将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为，即分针转过的角的弧度数是，故B正确；
表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，
表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即，故C正确；
由于为第三象限角，所以，
故，所以是第二或第四象限角，故D错误；
故选：D.
11. 【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知经过小时后，体内的酒精含量为，令求出t的取值范围，即可求出结果．
【详解】解：经过t小时后，体内的酒精含量为：，
只需，
∴t＞＝＝≈＝3.8，
∴他至少要经过4个小时后才能驾车.
故选：B．
12. 【答案】B
【解析】
【分析】由于题意可得函数以4为周期，分，，三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．
【详解】对任意有，得，则函数以4为周期，
由于函数的图象关于直线对称，则，又，
所以，则函数的图象关于对称．
当时，，由得，则，
作出与的大致图象如图，
令，则，而，
由图可知，与在上有个交点；
当时，，由得：，
令，，得，
由上述可知，与在上有个交点，
故与在上有个交点，
又时，成立，
所以方程实数根的个数为．
故选：B．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题．本大题共6小题，每小题5分，共30分．
13. 【答案】3
【解析】
【分析】利用指数幂和对数的运算性质求解即可．
【详解】．
故答案为：3．
14. 【答案】
【解析】
【分析】根据函数表达式,列出不等式组即可解得其定义域.
【详解】因为函数,
所以解得且，即函数的定义域为.
故答案为：.
15. 【答案】3
【解析】
【分析】根据表格由内向外求解即可．
【详解】根据表格可知，
∴．
故答案为：3．
16. 【答案】
【解析】
【分析】利用平方关系求出及，又，利用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】因为均为锐角，所以，
又，，
所以，，
所以.
故答案为：.
17. 【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，求得常数的范围，即可写出答案．
【详解】当时，单调递增，
由题意，不妨设，则，
由，得，
因为，所以，所以，
所以，所以常数的取值可以是：1．
故答案为：1（答案不唯一）．
18. 【答案】②③④
【解析】
【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故③④正确，求得的解析式即可判断①，由函数的对称性可判断②.
【详解】设的周期为，
∵，，∴，， 故，则，，
由，则，故，，，
当时，，，
∵在区间上单调，∴，故，即，
则，故，即，又，，所以或，故③④正确；
当时，，，又，则，此时不是偶函数；当时，，，又，则，此时不是偶函数，故①错误；
由题可知是函数的一条对称轴，故成立，故②正确.
故答案为：②③④.
三、解答题．本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19. 【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求出的值；
（2）由诱导公式化简后求解.
小问1详解】
由题意可得，
.
【小问2详解】
.
20. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）或
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据题意，代入数据，化简计算，即可得答案.
（Ⅱ）若，则为单调递增函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值；若，则为单调递减函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值，综合即可得答案.
【详解】（Ⅰ）因为，所以
所以，即，
解得或（舍）；
（Ⅱ）若，则上 为单调递增函数，
所以的最大值为，最小值为，
根据题意可得，
所以，所以，即，
解得或（舍）；
若，则上 为单调递减函数，
所以的最大值为，最小值为，
根据题意可得，
所以，所以，即，
解得或（舍）
综上，a的值为或.
21. 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为，
（2）最大值3；最小值2
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得最小正周期，由三角函数的性质求出函数的单调递减区间；
（2）求出的范围，然后结合三角函数的性质即可求得最值．
【小问1详解】
．
的最小正周期，
令，，解得，，
的单调递减区间为，；
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，取最大值3；
当，即时，取最小值2．
22. 【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）或．
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结果；
（2）利用单调性的定义判断并证明即可；
（3）由的奇偶性和单调性，可得恒成立，令，，由二次函数的性质分类讨论求得的最小值，即可得的取值范围．
【小问1详解】
为奇函数，且定义域为，
则对于任意恒成立，
∴
∴．
【小问2详解】
，
在定义域上任取，且，
则，
，又，
故，即，
因此，函数在定义域上为增函数．
【小问3详解】
函数在定义域上为增函数．
对于任意，恒成立，
则，
因为在上为增函数，可得，即恒成立，
令，
当，即时，在上单调递增，，
则，解得或，又，则；
当，即时，在上单调递减，
恒成立，则符合题意；
当，即时，
，
则，解得或，又，则．
综上所述，或．
23. 【答案】（1）具有性质，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断；
（2）根据条件验证时的取值范围即可；
（3）考虑和两种情况，再用反证法即可求出取值范围．
【小问1详解】
解：具有性质，
设，令，则，
解得，又，所以具有性质；
【小问2详解】
证明：任取，令，则，
因为，解得，又，所以，
当，时，，
即，即任取实数，都具有性质；
【小问3详解】
解：若，取，则且，故，
又，，所以具有性质；
假设存在使得具有性质，即存在，使得，
若，则，，，，
若，则，进而，，，，
，所以假设不成立，所以．
1
2
3