数学必修 第一册5.3 诱导公式课后作业题

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(1) 公式(一) sinα+2kπ=sinα; cs (α+2kπ)=cs α ; tan (α+2kπ)=tan α.
(2) 公式(二) sin (π+α)=-sin α ; cs (π+α)=-cs α ; tan (π+α)=tan α.
若P1(x , y)，则P2(-x , -y).
(3) 公式(三) sin (-α)=-sin α ; cs (-α)=cs α ; tan (-α)=-tan α.
若P1(x , y)，则P3(x , -y).
(4) 公式(四) sin (π-α)=sin α ; cs (π-α)=-cs α ; tan (π-α)=-tan α.
若P1(x , y)，则P4(-x , y).
(5) 公式(五) sin (π2-α)=cs α ; cs (π2-α)=sin α.
若P1(x , y)，则P5(y , x).
(6) 公式(六) sin (π2+α)=csα ; cs (π2+α)=-sin α.
若P1(x , y)，则P6(-y , x).
利用以上6组公式，最好结合图象，利用对称性和全等三角形进行理解消化.
2 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
(奇偶指的是π2∙n+α中整数n是奇数还是偶数，看象限时把α看作锐角)
sin π2∙n+α= (-1)n2 sin α , n为偶数-1n+12cs α , n为奇数 cs (π2∙n+α)= (-1)n2 cs α , n为偶数-1n+12sin α , n为奇数

【题型一】求具体角度的三角函数值
【典题1】 sin780°+cs210°+tan225°的值为 ．
【解析】 sin780°+cs210°+tan225°
=sin(720°+60°)+cs(180°+30°)+tan(180°+45°)
=sin60°-cs30°+tan45°
=32-32+1=1.
【点拨】角度负角化正角，大角化小角，小角化锐角.

【题型二】诱导公式的使用
【典题1】 设f(n)=cs(nπ2+π4)，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)等于 ．
【解析】∵f(n+4)=cs[(n+4)π2+π4]=cs(nπ2+π4) ,
∴f(n)是以4为周期的函数，
又f(1)=-22 , f(2)=-22 , f(3)=22 , f(4)=22 ,
∴f1+f2+f3+…+f2018
=504f1+f2+f3+f4+f1+f2=-2．
【点拨】数值比较大项数比较多的时候，注意周期性.
【典题2】 已知cs(π6-α)=34，则sin(α-2π3)= ．
【解析】∵cs(π6-α)=34，
∴sinα-2π3=sin-π2-π6-α=-cs(π6-α)=-34.
【点拨】
① 注意到(π6-α)+(α-2π3)=-π2是π2的倍数，则可利用诱导公式，这属于整体代换，相当于令π6-α=t.
② 对公式的理解要注意一点:比如诱导公式sin (π2+α)=cs α中的α其实它可以是一数(如π4、π3)、一字母(如β、θ)或者一式子(如α2、β+π3)，利用公式要特别灵活.
【典题3】 已知g(θ)=cs(-θ-π2)⋅sin(7π2+θ)sin(2π-θ)．
(1)化简g(θ)；
(2)若g(π3+θ)=13 , θ∈(π6 , 7π6)，求g(5π6+θ)的值；
(3)若g32π-θ-g(θ)=13 , θ∈(-π2 , π2)，求gθ-g(π2-θ)的值．
【解析】 1 g(θ)=cs(θ+π2)sin(4π-π2+θ)sin(-θ)=-sinθ(-csθ)-sinθ=-csθ；
2∵θ∈π6 , 7π6， ∴π3+θ∈(π2 , 3π2)，
∵gπ3+θ=-cs(π3+θ)=13 ，即cs(π3+θ)=-13；
∴g5π6+θ=-cs5π6+θ=-cs(π2+π3+θ)=sin(π3+θ)；
∴当π3+θ∈(π2 , π)时，
g(5π6+θ)= sin(π3+θ)=1-cs2(π3+θ)=223；
当π3+θ∈(π , 3π2)，
g(5π6+θ) =sin(π3+θ)=-1-cs2(π3+θ)=-223；
(3) gθ-gπ2-θ=-csθ+csπ2-θ=sinθ-csθ
由g32π-θ-g(θ)=13，得-cs(32π-θ)+csθ=13，
整理得sinθ+csθ=13，
两边平方得：sinθ+csθ2=1+2sinθcsθ=19，即2sinθcsθ=-890 , sinθ