高二上学期数学核心专题5.有心圆锥曲线的焦点三角形

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焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，
（1）. .
（2）. 焦点三角形的周长为
（3）..
（4）. 焦点三角形的面积为：.
①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大.
②．S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
（5）. 假设焦点的内切圆半径为，则.
（7）.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有
本节中约定已知双曲线方程为 如图，顶点在第一象限，对于双曲线焦点三角形，有以下结论：
1.如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的
面积.
证明：由余弦定理可知．
由双曲线定义知||，可得
所以
则．
7.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
结论10.如图，过焦点的弦的长为，则的周长为.
三．典例分析
例1．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9B．3C．4D．8
解析：由焦点三角形面积公式得，故选：B
例2．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
解析：所以，
而，所以可得，解得，，由，得，所以该椭圆的方程为．故选：A．
例3．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解析：又，所以，即，故E的离心率为.
故选：C.
例4.椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则的最小值为______.
解析：由题意，，设，，由椭圆定义，，在中，由余弦定理，
，
当且仅当时取等号，此时P为椭圆的短轴端点，所以的最小值为.
例5.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是______.
解析：椭圆C上存在点P，使等价于最大张角大于等于60°，如图，
，即，又，所以.
例1．已知为双曲线的两个焦点，在双曲线上，若的面积是1，则的值是__________．
解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：，所以，
即． 所以，从而．
例2．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：
所以． 故选B．
例8．如图所示，已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是__________.
解析：由条件可得，，，则，，，所以在中，，
即，即，则，所以双曲线的离心率为：.
故答案为：.
四．习题演练
1．设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（ ）
A．14B．17C．20D．23
解析：由前述结论可知，选D.
2．已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A．B．C．D．不能确定
选B.
3．设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
解析：，选D
3．设为椭圆上一点，两焦点分别为，，如果，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解析：由于.故即.
故选：A.
4. 已知为椭圆的焦点，为上一点且,求此椭圆离心率的取值范围.
解析：由椭圆的定义，得，平方得①.
由，②，是锐角，由余弦定理得③，③得 ④由②④，得，
是锐角， ，即且
.由②③可知 ⑤由①⑤可得 ，
，，即，.则椭圆离心率的取值范围是.
例2．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解析：设椭圆右焦点为，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以，
则，.
由余弦定理可得，
即，即 故椭圆离心率故选：C.
例7.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
解析：由题意可得，，解得，又为直径，所以四边形为矩形，所以，又，所以，即，由，得，即，所以，即．故选：C．