高二上学期数学核心专题6.椭圆第二定义及应用

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1．定义形式
，所以我们在解决一些焦半径问题时，看到一只焦半径，往往一种思考方式就是连接另外的一只焦半径，利用其和为定值来实现转化.
2.坐标形式
1.坐标形式焦半径（已知圆锥曲线上一点P()
左加右减.
推导：根据两点间距离公式:，由于代入两点间距离公式可得，整理化简即可得. 同理可证得.
3.角度形式.
（1）基本结论：上加下减.
证明：设，在中，，等式两边平方可得：
，化简可得
同理可证
（2）若是经过椭圆焦点的一条弦，其中分别是直线与椭圆的两个焦点，则的定值为．
（3）若是分别过椭圆焦点且互相垂直的弦，则．
比例式
设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则．
证明：由（3）可得两式相除即可证得.
二．典例分析
1.定义式及应用
例1．已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：设椭圆的左焦点为，A是C的上顶点，连接，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则，又 ，四边形为平行四边形， ，又，解得：
A到l的距离为：，解得：，即，
. 故选：B.
例2.已知椭圆内有一点，、分别为其左右焦点，是椭圆上一点，求：
(1).的最大值与最小值；
(2).的最大值与最小值.
解析：（1）如图：，等号成立当在一侧，且三点共线以及当在一侧，且三点共线.故的最大值与最小值为：.
由椭圆定义可知：，由（1）可知：的最大值与最小值为：，故的最大值与最小值为：与
.
2.坐标式及应用
例3.（2019全国三卷）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
解：由已知可得，
．∴．由焦半径公式可知
设，由焦半径公式可知
再代入椭圆方程可解得的坐标为．
例4.（2018全国三卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
解：（1）设，则.
两式相减，并由得.
由题设知，于是.①
由题设得，故.
（2）由题意得，设，则.
由（1）及题设得. 又点P在C上，所以，从而，. 于是
. 同理.
所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则
.②
将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得：
.故，代入②解得. 所以该数列的公差为或.
3.角度式及应用
例5．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为
，离心率为，过焦点且倾斜角为的直线交椭圆两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若时，，求实数；
（3）试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．
（1）因为，椭圆离心率，所以所以椭圆的标准方程．
（3）的值与的大小无关．证明如下：设点到右准线的距离分别为．
因为，所以．又由图可知
，
所以，即，即．
同理．
所以．
所以．显然该值与的大小无关．
例6.已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过的直线与椭圆交于A,B两点(点A位于轴上方)，若,求直线的斜率的值．
解：（1）.
例2．已知椭圆与轴负半轴交于，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与曲线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与直线相交于点，求的取值范围及取得最小值时直线的方程.
解：（1）
（2）
如图，设，则，
.另外，，.
那么.
令，这样.
此时，直线的方程为.
例1．（2012江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
解析：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得
，∴．
由点在椭圆上，得
∴椭圆的方程为．
解法1.（代数法）
（2）由（1）得，，又∵∥，
∴设、的方程分别为，．
∴．
∴．①，同理，．②
（i）由①②得，．解得=2．
∵注意到，∴．∴直线的斜率为．
（ii）证明：∵∥，∴，即．
∴．
由点在椭圆上知，，
∴．同理，．
故只需证明即可
由①②得，，，∴．
∴是定值．
解法2.（几何法）
延长交椭圆于点，则点和点关于原点对称，.
设，则有，.
又，所以，即.
又，代入得，解得，
故，即直线的斜率为.
结合第解法1（ii）可知，只需证明为定值即可.
又，
所以，
所以.
推广： 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点，则（1）；
（2），即点在以为焦点、为长轴长的椭圆上.
例2.（2010辽宁）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60,.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解析：由于，故可得：
，故.
，将代入解得.
由可解得，故椭圆方程为.
例3（2013年福建）椭圆的左右焦点分别为，焦距为.若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_________.
解析：由题意可得，所以有，即
，变式得，解得.
例4．（2022年新高考1卷）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
解析：，则设，
由焦点弦公式，可知即，
由椭圆的定义可得，的周长等价于．
故答案为：13．
4.比例式及应用
例7．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
解析：由焦点弦比例模型结论得，解得，故选B．
三．习题演练
1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为________．
2．已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.