高二上学期数学核心专题8.双曲线的渐近线几何性质与应用

这是一份高二上学期数学核心专题8.双曲线的渐近线几何性质与应用，共6页。

例1．已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
解析：由题意知：双曲线C：的渐近线方程为：，
不妨设过右焦点垂直于渐近线的直线的方程为：，
联立方程组解得：，又因为，所以为的中点，因，则有，由题意知：点在直线，
代入可得：，整理可得：，则，故选：.
结论2.过双曲线的右焦点且与渐近线垂直的直线分别交的两条渐近线于两点，则.
（1）当时，设，则，
，
，，
.
进一步，若，则
（2）当时，设是直线与轴的交点，，则，
，
，，，
，，
.
进一步：若，则
例2（2019全国1卷）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
解析：如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
结论3.设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为
.
证明：易知，，由中线定理可得
，即，又因为，所以，则.
结论4.设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点.
过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为.
例3（2018全国3卷）．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A．B．C．D．
详解：由题可知，在中，
在中，
，故选B.
二．更多例题
例1．过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________
解析：满足情形1，即，故，则
例2．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解析：满足情形2，即，.
例3（2019全国3卷）．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A．B．C． D．
解析：由．，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．
例4.（2018全国1卷）．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A．B．3C．D．4
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.
例5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
解析：因为，，且为中点，所以，且，
因为，所以，解得，
直线l的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
例6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
解析：由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，，为的中点，，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，故选：B