高二上学期数学核心专题9.抛物线焦点弦

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假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.
性质1.,.
证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.
性质2.抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
证明：，则的方程为，整理可得：
，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程.
一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
于是，若恒过定点.
性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
（1）.
（2）.
证明：设准线交轴于点，过点作轴于，作于，由抛物线定义可知：．其中，.
所以，，故．
同理，所以．
性质4.抛物线的通径
(1).通径长为.
(2).焦点弦中，通径最短.
(3).通径越长，抛物线开口越大.
由性质3易得，略.
性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
证明：设坐标为，由抛物线定义：，
故.
性质6.（1）以AB为直径的圆与准线相切.
（2）以为直径的圆与切于焦点；
（3）以焦半径为直径的圆与轴相切；
（4）以焦半径为直径的圆与与轴相切；
性质7.抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
性质8.正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:．
性质9.已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，
存在最小值，且最小值为.
证明：
（当且仅当时等式成立），所以的最小值为.
性质10.已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，则四边形
的面积的最小值为.
性质11.（1）三点共线；（2）三点共线．
性质12.过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为.记的面积分别为
,,，则.
二．典例分析
例1．（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN为直径的圆与l相切
D．为等腰三角形
解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，
所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

例2．（2022新高考2卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的
直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则直线
的斜率为
A．直线AB的斜率为2B．
C．D．
解析：选项A：设中点为，则所以所以故
选项B：所以所以
选项C：
选项D：由选项A,B知所以所以为钝角；
又所以为钝角；
所以.故选ACD.
例3．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条
互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则
的是小值为( )
A．B．C．D．
解析：设,,直线方程为
取方程,得∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当(或)时,取得等号．
上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.
例4.已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.
解析：如下图所示：
不妨设点在第一象限，联立可得，即点
易知轴，则轴，则，所以，直线的倾斜角为，易知点，所以，，整理可得，且有，故，等式两边平方可得，即，
解得（6舍去），故答案为：.
例5．已知拋物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若为△的中线，则
B．若为的角平分线，则
C．存在直线，使得
D．对于任意直线，都有
解析：由题意，设，不妨令都在第一象限，，
联立，则，且，即，所以，则，如上图所示.
A：若为△的中线，则，所以，所以，故，所以，则，故A正确；
B：若为的角平分线，则，作垂直准线于，则且，所以，即，则，
将代入整理，得，则，所以，故B错误；
C：若，即，即△为等腰直角三角形，此时，即，所以，所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故C错误；
D：，而，结合，可得，即恒成立，故D正确.故选：AD.
例6．已知，，…，是抛物线上不同的点，且．若，则______．
解析：设，､､､…､是抛物线上不同的点，点,准线为，则，
所以
所以，即
，故答案16.
例7．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．
（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．
解析：（1）由已知可得，则所求椭圆方程．
由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，
则动圆圆心轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，，
从而．设直线的斜率为，则，直线的方程为：，直线的方程为，设，，，，，，
，，由，消去可得，由抛物线定义可知：，由，消去得，从而，所以，令，因为，则，
则.
因为.所以.所以四边形面积的最小值为8．
三．习题演练
1．若抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上且在第一象限，直线的斜率为，在直线上的射影为，则下列选项正确的是（ ）
A．到直线的距离为B．的面积为
C．的垂直平分线过点D．以为直径的圆过点
解析：对A，易知抛物线的焦点，直线即为，
故到直线的距离为，故A错误；
对B，设直线方程为，代入，得，解得，则直线方程为，联立抛物线方程，解得或，
因为点在第一象限，故取，即，
则，故B正确，
对C，根据抛物线定义得，则的垂直平分线过点，故C正确，
对D，，，故以为直径的方程为，
将点代入左边得，故D错误.故选：BC.
2．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相交
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
解析：抛物线焦点，准线，由题意，故A正确；因为，则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；
抛物线的焦点为，，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，当时，则，解得，综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．故选：ACD．
3．如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（在轴的上方，在轴的下方），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（ ）
A．若抛物线的焦点的坐标为，则
B．若，则直线的斜率为2
C．当时，若为等腰三角形，则的面积为
D．当时，
解析：对于选项，可得，有，故选项正确；
对于选项，由，可得，又由，有为的中位线，有，可得点的横坐标为，代入抛物线的方程，求得点的纵坐标为，故直线的斜率为，故B选项错误；
对于选项，当为等腰三角形时，，直线的斜率为1，焦点的坐标为，直线的方程为，
联立方程，解得点的横坐标为，有，则的面积为，故C选项正确；
对于选项D，如图，过点作直线的垂线，垂足为，记，
当时，有，由抛物线的性质有，在中，，有，可得，得，有，故选项正确.
4.已知为坐标原点,过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于两点
（1）用表示之间的距离;
（2）证明:的大小是与无关的定值,并求出这个值.
解析：（1）过焦点，且倾斜角为的直线方程是.由，得.设则，，
故.
（2）由（1）知：，，，，，，
所以，
在中，由余弦定理可知，
.即的大小是与p无关的定值，且.