高二上学期数学核心专题10. 抛物线中的定弦张定角

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结论1：抛物线方程为，是抛物线上任意的两个点，则直线的方程为：.
证明：，则的方程为，整理可得：，即可得的方程为：.
结论2：特别地，若直线过抛物线焦点，代入直线方程一定有：，再代入抛物线方程可得：.
结论3：对于抛物线上异于顶点的两动点，若，则弦所在直线过点.
同理，抛物线上异于顶点的两动点，若，则直线过定点.
证明：设，那么可得：，再由结论2可得：
，则弦所在直线过点.另一种情况同理可证.
结论4.一般情形[1]
已知抛物线,定点,动点,若
.则直线恒过定点,且.
二．典例分析
例1．抛物线上两点（不与重合），满足，则面积的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．18
解析：由题设，可设直线为且，且，联立，消去得，故，
则，由，易知，则或（舍），故的方程为过定点(4,0)，由上知：，则面积为，时等号成立.故选：C
例2.已知抛物线,过坐标原点作两条相互垂直的直线分别与抛物线相交于两点(均与点不重合).若直线恒过点,则的最小值为（）
A．B．C．D．
解析：设，设直线MN方程为，联立抛物线C的方程得，所以．又，
所以，所以，所以，所以，所以直线MN的方程为，所以直线MN过定点，故，即，所以．由抛物线的方程可得，
所以，当且仅当时取等号．故选：A
例3．设A，B是抛物线C：上两个不同的点，О为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（ ）
①
②
③直线AB过抛物线C的焦点
④面积的最小值是2
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④
解析：取，，满足，从而，故②错误；
由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立，整理得，则，.
因为，所以，所以直线的方程为，
则直线过点，因为抛物线的焦点为，所以直线过焦点，
故③正确；
则由抛物线的性质可知，故①正确；由上可得直线的方程为，则，原点到直线的距离，
则，故④正确.故选：A
例4．已知点在抛物线：上，，是抛物线的两条不过点的弦，且满足，，记直线，的交点为，则（）
A． B． C． D．
解析：点在抛物线：,则，则，所以：，设，，由，
直线的斜率，故直线的方程为，即恒过定点，同理也恒过定点，故交点，，故选：C.
例5.已知抛物线,圆,直线分别交抛物线于,两点,且直线与直线的斜率之积等于-2,则直线被圆所截的弦长最小值为____
解析：设，，设：，又，∴，
∴，∴．∴，∴，∴直线AB恒过点，由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即
当直线时，弦长最短，此时弦最小为．故答案为：
例6．设是抛物线上的两个不同的点，O为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则直线恒过定点，定点坐标________
解析：直线恒过定点，
例7．过原点且相互垂直的两条直线分别交抛物线于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线AB的最大距离为_________
解析：由得，焦点，依题意可设，，则，，因为，所以，又，所以，
，直线，所以，所以，所以，所以直线过定点，所以抛物线的焦点到直线AB的距离的最大值为焦点与定点之间的距离，所以抛物线的焦点到直线AB的最大距离为.故答案为：
例8．在直角坐标系中，抛物线的顶点是双曲线的中心，抛物线的焦点与双曲线的焦点相同．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点为抛物线上的定点，，为抛物线上两个动点.且，问直线是否经过定点?若是，求出该定点，若不是，请说明理由．
解析：（1）双曲线：，焦点为，抛物线的顶点是，可得抛物线的方程为或；
（2）若点为抛物线上的定点，且点位于第一象限，则抛物线的方程为，即有，设直线AB方程，设，，
联立得，
因为，即，
化简得：，
代入得：，，解得或，将代入中得，由于此时直线经过点，故不符合题意舍去，将代入中得代入直线方程得：，
此时，只要，就满足，所以在时，直线经过定点．
例9.已知椭圆的离心率为,且经过点,椭圆的右顶点到抛物线的准线的距离为4.
（1）求椭圆和抛物线的方程;
（2）设与两坐标轴都不垂直的直线与抛物线相交于两点,与椭圆相交于,两点,为坐标原点,若,则在轴上是否存在点,使得轴平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解析：（1）由已知得，∴，．∴椭圆的方程为．
∴椭圆的右顶点为．∴，解得．∴抛物线的方程为．
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0．设直线的方程为，，．
由消去y，．∴，∴．∴，.
∴
．∴．∴，∴．∴，此时．∴直线l的方程为．
假设在轴上存在点，使得轴平分，则直线的斜率与直线的斜率之和为，设，，由消去，得．∴，即恒成立．∴，．∵，
∴．
∴．∴．
∴．解得．∴在轴上存在点，使得轴平分．