高二上学期数学核心专题13.数列求通项的十种常见方法

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类型1.等差数列相邻两项递推形式为常数，）或者相邻三项递推形式.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式即可解决！
例1.已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
解析∵，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选A.
类型2.等比数列相邻两项递推或.
或者相邻三项递推.
特别地，在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.
例2．数列中，，对任意有，若，则（ ）
A．B．C．D．
解析由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则
所以，故选D.
二．隔项成等差（等比）数列
1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列.
若,则当时,,两式相减得
,即数列与数列均是公差为的等差数列.
2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等比数列.
若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列.
例3．已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为( )
A．B．C．D．
解析∵，，∴，解得．
，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．
当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，
故，，设的前n项和为，
则．故选A．
例4．数列中，．求的通项公式；
解析（1）由①②，②-①，
∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，由，∴，
∴，∴，n为奇数，，∴，n为偶数．∴.
例5．已知数列满足且，．求通项；
解析当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，
，∴，为奇数；当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，，∴，为偶数∴.
三.累加型
累加所以,
当时也成立.下面,我们通过实例展示
例6．若数列满足，．求的通项公式.
解析：因为，，所以，故.
例7．已知数列满足，，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
解析：∵，等式两边同除以，∴，
可得到，，…，，利用累加法，可得到
，即，
又∵，所以.
，∴，故A正确；，∴，故B错误；
，∴，故C错误，，∴，故D错误.故选A
例9．设数列满足，，则数列的通项公式为（ ）．
A． B．
C． D．
解析：，所以当时，，，，，
将上式累加得，，即，又时，也适合，．故选B．
已知数列满足，，则
A．B．C．D．
解析数列满足，，，，
，，……，
累加得，
又，，.故选B.
四.()累乘型.
已知的形式,当时,变形得到,则由累乘法可得：
例11．数列及其前n项和为满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
解析当时，，即，所以
累乘得，又，所以
所以
则
.故选C.
例12．数列及其前n项和为满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：当时，，即
所以
累乘得，又，所以，所以
则
.故选C.
五.型（待定系数法）
一般形式为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，.
例13．在数列中，，．求的通项公式.
解析依题意，数列中，，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
例14.(2014年新课标全国1卷)已知数列满足，证明是等比数列，并求的通项公式.
解析显性构造，，.
例15．已知数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
解析：，又，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，故选D.
六.型
例16．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式；
解析∵，∴，∴，又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列．，则．
七.型.
方法1.数学归纳法.
方法2.，令，则，用累加法即可解决！（公众号凌晨讲数学）
例17.(2020年新课标全国3卷)设数列满足，.
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；
（2）求数列的前n项和.
解析方法1归纳法.
（1）猜想得，
，…….因为，所以
方法2构造法.
由可得，累加可得.
（2）由（1）得，所以
.①
.②
得，
类型8.型
例8．已知数列满足，，求数列的通项公式.
因为，所以，即，又，所以，所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，故，所以数列的通项公式为.
例19.在数列中，已知，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
解析： ，，所以是以为首项，公差为的等差数列，，故选:B
九.已知与关系，求.（公众号凌晨讲数学）
解题步骤
第1步当代入求出；
第2步当，由写出；
第3步（）；
第4步将代入中进行验证，如果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，
在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消留，第二个角度，消留，
第三个角度，级数形式的前n项和，下面我们具体分析.
例13．已知数列的前项和为，，.证明数列是等差数列.
证明∵，∴，易知，∴，
∴数列是公差为2的等差数列.
例14．设数列的前项和为，且满足，.求.
解析因为,所以，
则，，即为首项为，公差为的等差数列，
则，故.
例15．已知数列满足．求数列的通项公式.
解析，①当时，．当时，，②由①-②，得，
因为符合上式，所以．
例16.（2022新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．求得通项公式.
解析，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．当时，，
所以，即（）；累积法可得（），又满足该式，所以得通项公式为．
例17．已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，则，于是得，
因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.
故选D
例18.已知数列中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【详解】当时，，当时，因为，
所以，两式相减得，
经验证时，，符合，
所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.故选A.
九．已知前项积求.
例19．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解析：当时，由，得，
两式相除得，也适合，所以
，因为对任意，（且）恒成立，所以，
所以，当时，由，得，则，
当时，由，得，则，综上，故选A
例20.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
解析由已知得,且，,取,由得,
由于为数列的前n项积，所以,
所以，所以,由于，所以，即,其中，所以数列以为首项，以为公差等差数列.
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,,当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
十.特征方程法（强基层次）型.（选学）
求解方程，根据方程根的情况，可分为
（1）若特征方程有两个相等的根，则
（2）若特征方程有两个不等的根，则
例21．已知数列满足，，.求数列的通项公式；
解析，变形为，，∴数列是等比数列，首项为6，公比为3.∴，变形为，，∴，∴
例19.已知数列满足，求数列的通项．
解析其特征方程为，解得，令，
由，得，．
例22.已知数列满足，求数列的通项．
解析其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．