高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案，共14页。学案主要包含了知识梳理，考点分类剖析，变式探究等内容，欢迎下载使用。
一、函数的概念
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：.
其中叫做自变量，是x函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。
二、函数的三要素
函数的三要素是定义域、值域、对应法则
三、两个函数能成为同一函数的条件
当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。
四、区间的概念和记号
设，且，我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为。
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为。
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半闭半开区间，分别表示为和。这里的实数和叫做相应区间的端点。
（4）实数可以用区间表示为“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们可以把满足的实数表示为
五、函数的表示方法
函数的表示方法有三种。（1）解析法（2）列表法（3）图像法
六、分段函数
在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。
七、求函数的定义域的主要依据
（1）分式的分母不能等于零； （2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；
（3）对数函数的真数； （4）指数函数和对数函数的底数且；
（5）零次幂的底数； （6）函数的定义域是；
（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。
八、求函数的值域
（1）函数值域与函数定义域之间的关系
（2）求函数值域的基本方法
①一次函数（例如：，）②二次函数（例如：，）
③一次分式（例如：，）④二次分式（例如：）
⑤同次根号问题（例如：）⑥均值不等式（例如：，）
⑦数形结合（例如：）
【考点分类剖析】
考点一 函数的概念
【典例】1、下列各组函数中表示同一函数的是 。
（1），； （2）；
（3）； （4）
（1）（3）【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。
【变式探究】1、下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
B．C．D．
B【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。
2、下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A、， B、，
C、， D、，
C【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。
考点二 已知解析式求定义域
【典例】1、函数的定义域是 。
【解析】∵函数f（x）=+lg（3x+1），∴；解得﹣＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．
2、函数的定义域是 。
【解析】将化为，所以定义域为 因为，所以
综上，定义域为
【变式探究】1、函数的定义域是_____.
.【解析】由已知得,即解得，故函数的定义域为.
2、函数的定义域为________.
【解析】要使原式有意义，则，解得x∈．故答案为：．
考点三 抽象函数求定义域
【典例】1、已知的定义域为，则函数的定义域为 。
【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，
2、若函数=的定义域为,则函数的定义域是 。
【解析】因为=的定义域为,所以，即定义域是.
3、已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为 。
【解析】由函数y＝的定义域为[-2，3]，∴∴对y＝f（2x+1），有，解得，即y＝f（2x+1）的定义域为．
【变式探究】
1、若函数的定义域为,则函数的定义域是 。
【解析】设，则.由的定义域为知，，即的定义域为，要使函数有意义，必须满足，即，解得，
2、①已知的定义域为，求函数的定义域；
②已知的定义域为，求的定义域；
③已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【详解】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，
∴，即的定义域为．（2）由题意知中的，∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为.
考点四 根据定义域求参数
【典例】1、函数的定义域，则实数的值为 。
3【解析】由题意，函数有意义，满足，又由函数的定义域为，所以，解得．
2、若函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【解析】因为f（x）的定义域为R又f（x）有意义需ax2+2ax+1≠0所以ax2+2ax+1＝0无解当a＝0是方程无解，符合题意当a≠0时△＝4a2﹣4a＜0，解得 0＜a综上所述0≤a
【变式探究】
1、若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是 。
【解析】∵函数f（x）的定义域为R；∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m≠0时，则m＞0△=m2−8m