2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习4.1 指数函数 (学生版+教师版)

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指数函数1 指数运算(1) n次方根与分数指数幂一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0. 注意：(1) (na)n=a (2)当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，nan=a=a,a≥0-a,a0,m,n∈N*,且n>1) 巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)Eg x=x12，3x5=x53.② 正数的正分数指数幂的意义：a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1) ③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.(3) 实数指数幂的运算性质① as∙ar=ar+s (a>0,r,s∈R) ② asr=ars (a>0,r,s∈R) ③ (ab)r=arbr (a>0,r∈R) 2 指数函数概念一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 3 图像与性质【题型一】指数幂的化简与求值【典题1】 求值(279)12-23-π0－21027-13+0.125-23+3∙343.【解析】原式=25912-1-(6427)-13+(18)-23+312∙3432 =53-1-(2764)13+2-3-23+32∙1432 =23-34+4+98 =12124.【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.【典题2】已知x12-x-12=5，则x2+1x2的值为______.【解析】由x12-x-12=5，两边平方得x-2+x-1=5，则x+1x=7，所以x+1x2=49⇒x2+1x2+2=49⇒x2+1x2=47.【点拨】注意x12-x-12，x+1x，x2+1x2之间平方的关系.【典题3】化简11+62+11-62=________.【解析】11+62+11-62 =3+22+3-22 =3+2+3-2 =6.【点拨】化简形如a+bm的式子，利用完全平方数处理.巩固练习1(★) 化简3aa÷a76(a>0)= . 【答案】 a-23 【解析】原式=a12÷a76=a12-76=a-23．2(★★) 如果45x=3，45y=5，那么2x+y=　 　． 【答案】 1 【解析】由45x=3，得45x2=9,45y=5，则452x×45y=9×5=45=1．∴452x+y=45． ∴2x+y=1故答案为1．3(★★) 已知a+1a=7，则a12+a-12=　 　．【答案】 3 【解析】由a+1a=7，可得a>0，a12+a-12>0，∴a12+a-12=(a12+a-12)2=7+2=3．故选：A．4(★★) (214)12-(-2)0-(278)-23+(32)-2=　 　．【答案】 12 【解析】 (214)12-(-2)0-(278)-23+(32)-2=[(32)2]12-1-[(32)3]-23+(23)2 =32-1-49+49=12．5(★★) 求值7+43+7-43=　 　．【答案】4 【解析】7+43+7-43=2+32+2-32=2+3+2-3=4.6(★★★) 已知实数x,y满足3x+3y=9x+9y，则27x+27y3x+3y的取值范围是　 　.【答案】1,98 【解析】设3x+3y=t≥23x+y，∴3x+y≤t24， 又3x+3y=9x+9y=(3x+3y)2－2×3x+y，∴3x+y=t2-t2>0，∴t>1；∴t2-t2≤t24即t2－2t≤0，解得0≤t≤2；∴14C．a-12+b-128【答案】C 【解析】∵2a=3b=6，∴2ab=6b,3ba=6a，∴2ab=6b，3ba=6a，∴2ab•3ba=6b•6a，∴6ab=6a+b，∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2ab，∵a≠b，∴ab>2ab，∴a+b=ab>4，∴a－12+b－12=a2+b2－2(a+b)+2>2ab－2(a+b)+2>2，∵a2+b2>2ab>8，故C错误故选：C．【题型二】指数函数的图象及应用【典题1】函数y=21-x的图象大致是(　　)A． B． C． D．【解析】方法1 函数y=21-x=&2x-1,x>1&21-x,x≤1，(利用x=x,x≥0-x,x1时，y=2x-1是增函数，当x≤1时，y=21-x的减函数，且x=1时，y=1，即图象过(1,1)点；∴符合条件的图象是A．故选：A．方法2 利用函数的图象变换 去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称 右移1个单位故选：A． 【典题2】设函数f(x)=|2x-1|，cf(b)，判断2a+2c与2的大小关系.【解析】 f(x)=|2x-1|的图象可看成fx=2x向下平移一个单位，再把x轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，由图可知，要使cf(b)成立，则有c0，故必有2c1，又fc-f(a)>0，即为1-2c-(2a-1)>0，∴2a+2c-2)与指数函数y=(12)x的交点个数有(　　)A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】 C 【解析】因为二次函数y=－x2－4x=－x+22+4(x>－2)，且x=－1时，y=－x2－4x=3，y=(12)x=2，则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)与y=(12)x的图象：由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，故选C．2(★★) 若函数y=ax+m-1(0