2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习5.5 三角函数和差角公式 (学生版+教师版)

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三角函数和差角公式 1 两角和差的正弦，余弦与正切公式(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)① 余弦两角和差公式 cos α±β=cos α cos β∓ sin α sin β推导如下如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1 ,0)，以x轴为非负半轴为始边作角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆相较于点P1cosα ,sinα，A1cosβ ,sinβ，Pcosα-β ,sinα-β，连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1 ,P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1. 根据两点间的距离公式，得cosα-β-12+sin2α-β=cosα-cosβ2+sinα-sinβ2化简得 cosα-β=cos α cos β+ sin α sin β而 cos α+β=cos α--β=cos α cos β- sin α sin β②正弦两角和差公式 sin α±β=sin αcos β± cos αsin β推导如下sinα+β=cosπ2-α-β =cosπ2-αcosβ+sinπ2-αsinβ =sinαcosβ+ cos αsin βsinα-β=cosπ2-α+β =cosπ2-αcosβ-sinπ2-αsinβ =sinαcosβ- cos αsin β③正切两角和差公式 tan α±β=tan α± tan β1 ∓ tan α tan β(由S(α±β)、C(α±β)可推导正切的和差角公式)对公式中α、β的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子Eg：① sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24对应公式sin α±β=sin α cos β± cos α sin β，把α看成数字45° , β看成数字30°；② cosx+π3=cosx∙cosπ3-sinx∙sinπ3对应公式cos α+β=cos α cos β-sin α sin β，把α看成字母x， β看成数字π3；③tanπ4=tanx+π8+π8-x=tanx+π8+tanπ8-x1-tanx+π8tanπ8-x，对应公式tan α+β=tan α+ tan β1- tan α tan β，把α、β分别看成式子x+π8、x-π8.对应公式的运用，注意整体变换的思想.2 辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2 sinx+φ 其中tan φ=ba.熟记两个特殊角的化简过程a:b=1:1型，配π4sinx±cosx=2sin⁡(x±π4)a:b=3:1型，配π6或π3sinx±3cosx=2sinx±π33sinx±cosx=2sinx±π6 【题型一】和差角公式的基本运用【典题1】 计算sin25°sin70°-cos155°sin20°= .【解析】 sin25°sin70°-cos155°sin20°=sin25°cos20°+cos25°sin20° (大角化小角)=sin(25°+20°)=sin45°=22【典题2】 tan27°+tan33°+3tan27°tan33°= .【解析】 ∵tan(27+33)°=tan60°=3∴tan27°+tan33°1-tan27°tan33°=3∴tan27°+tan33°=3-3tan27°tan33°∴tan27°+tan33°+3tan27°tan33°=3【点拨】由tan α+β=tan α+ tan β1- tan α tan β可得tan α+ tan β=tan α+β(1- tan α tan β)tan α+ tan β+tan αtan βtan α+β=tan α+β 【典题3】 若α ,β∈(-π2 ,π2)，且tanα ,tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根，则α+β= .【解析】由已知可得tanα+tanβ=-43，tanα⋅tanβ=5，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα⋅tanβ=-431-5=3．∵α ,β∈(-π2 ,π2)，且tanα