2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习5.6 三角函数倍角公式 (学生版+教师版)

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三角函数倍角公式 (本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)1 二倍角的正弦余弦正切公式① sin2α=2sinαcosα② cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1③ tαn2α=2 tαnα1-tαn2α(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式)2 降幂公式cos2α=1+cos2α2 sin2α=1-cos2α2 (由余弦倍角公式可得)3* 半角公式sinα2 =±1-cosα2 ,cosα2 =±1+cosα2 ,tanα2 =±1-cosα1+cosα (由降幂公式可得)4* 万能公式sinα=tanα21+tan2α2，cosα=1-tan2α21+tan2α2 ,tanα=2tanα21-tan2α2(由倍角公式可得)5*积化和公式sinα∙cosβ=12sinα+β+sinα-βcosα∙cosβ=12[cosα+β+cosα-β]sinα∙sinβ=12[cosα-β-cosα+β](由和差公式可得)6* 和化积公式sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2 sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2 cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2(由和差公式可得) 【题型一】 倍角公式的运用 【典题1】 求值cos20°cos35°1-sin20°=　 　．【解析】 cos20°cos35°1-sin20°=cos210°-sin210cos⁡(45°-10°)(cos10°-sin10°)=cos10°+sin10°cos45°cos10°+sin45°sin10°=cos10°+sin10°22(cos10°+sin10°) =2. 【典题2】计算4cos50°-tan40°= .【解析】 4cos50°-tan40°=4cos50°-sin40°cos40°=4cos50°cos40°-sin40°cos40°=4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2cos10°-sin40°cos40°=2cos⁡(40°-30°)-sin40°cos40°=3cos40°cos40°=3【点拨】① 正切化弦；② 注意角度之间的关系，比如互余(50°与40°、80°与10°)、倍数关系、角度相差值是特殊值(10°与40°相差30°). 【典题3】如果1+tanα1-tanα=2013，那么1cos2α+tan2α= .【解析】1cos2α+tan2α =1cos2α+sin2αcos2α=1+sin2αcos2α (化切为弦)=cosα+sinα2cosα+sinαcosα-sinα =cosα+sinαcosα-sinα =1+tanα1-tanα=2013 【点拨】① 本题的思路有二，一是先化简所求式子再利用已知条件，化二倍角为一倍角；二是由已知可求tanα，进而可得sinα,cosα，再求tan2α与cos2α得结果，但数值不好求.② 化切为弦是常见思路，也可1cos2α+tan2α=cos2α+sin2αcos2α-sin2α+2tanα1-tan2α=1+tan2α1-tan2α+2tanα1-tan2α=(1+tanα)21-tan2α=1+tanα1-tanα=2013．方法多样，多思考. 【典题4】已知sin(π12-α2)=33，则sin(2α+π6)的值为 .【解析】∵sin(π12-α2)=33，∴cosπ6-α=1-2sin2(π12-α2)=13，∴sin2α+π6=cosπ3-2α=2cos2π6-α-1=2×132-1=-79．【点拨】α2与2α是四倍关系，故可用借助α进行转化；解题中多用综合法与分析法求解.【典题5】 若α∈(0 , π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，则tanα=　 　．【解析】 ∵α∈(0 , π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，∴cos2α=25×22(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，∴cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，∴cosα-sinα=15 ① , ∴①式两边平方可得：1-2sinαcosα=125，解得2sinαcosα=2425，∴2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=2425，(巧用sin2α+cos2α=1，齐次化处理)可得12tan2α－25tanα+12=0，解得tanα=34或43．由①可知cosα>sinα，即tanα