2023-2024年人教A版2019必修第二、三册 专题练习4.1 数列的概念与简单的表示(学生版+教师版)

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数列的概念与简单的表示1数列的相关概念(1)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1 , a2 , … , an , …，简记{an}.2 数列的分类3数列与函数的关系数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集{1 , 2 , 3....n})上的函数f(n) ，其图象是一系列有限或无限孤立的点.PS 日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等. 数列 an=n2 函数 y=x24通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.Eg 数列1 , 0 , 1 , 0，…，其通项公式可以是an=1+-1n+12 , an=sin2nπ2等.注：(1)an与{an}是不同的概念，{an}表示数列a1 , a2 , ⋯，而an表示的是数列的第n项；(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.5 递推公式若已知数列{an}的第一项a1(或前n项)，且任一项an和它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.Eg a1(初始条件)，an=2an-1+3n(递推关系)；a1=1 , a2=2(初始条件) , an=3an-1-2an-2(递推关系).6 an与Sn的关系若Sn为数列an的前n项和，即Sn=a1+a2+...+an.则an=S1 , n=1Sn-Sn-1 , n≥2.【题型一】对数列的相关概念的理解【典题1】下列有关数列的说法正确的是(　　)①数列1 , 2 , 3可以表示成{1 , 2 , 3}；②数列-1 , 0 , 1与数列1 , 0 , -1是同一数列；③数列{1n}的第k-1项是1k-1； ④数列中的每一项都与它的序号有关．A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【典题2】 数列{an}为从a0开始的非负整数有限数列，ai表示在这个数列中i出现的次数．那么数列的项数不可能是 (　　)A．4 B．5 C．6 D．7【典题3】求数列{nn+2}是增减性. 【典题4】已知数列{bn}满足bn=2λ(-12)n-1-n2，若数列{bn}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是 .【典题5】若数列{nn+423n}中的最大项是第k项，求k.巩固练习1 (★) 下列叙述正确的是(　　) A．数列1 , 3 , 5 , 7与7 , 5 , 3 , 1是同一数列 B．数列0 , 1 , 2 , 3 , …的通项公式是an=n C．－1 , 1 , －1 , 1 , …是常数列 D．1 , 2 , 22 , 23 , …是递增数列，也是无穷数列2(★) 对于项数都为m的数列{an}和{bn}，记bk为a1 , a2 , … , ak(k=1 , 2 , … , m)中的最小值，给出下列命题：①若数列{bn}的前5项依次为5 , 5 , 3 , 3 , 1，则a4=3；②若数列{bn}是递减数列，则数列{an}也是递减数列；③数列{bn}可能是先递减后递增的数列；④若数列{an}是递增数列，则数列{bn}是常数列．其中，是真命题的为(　　)A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 3 (★) 数列1 , 1 , 2 , 3 , 5 , x , 13 , …中的x等于(　　)A．6 B．7 C．8 D．11 4 (★) 【多选题】满足下列条件的数列{an}(n∈N*)是递增数列的为(　　)A．an=1n B．an=n2+n C．an=1－2n D．an=2n+15(★★) 已知数列{an}是递增数列，且对于任意n∈N* , an=n2+2λn+1，则实数λ的取值范围是 . 6(★★) 已知数列an=8+2n-72n若其最大项和最小项分别为M和m，则m+M的值为 .7(★★) 已知{an}满足an=n－λ2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是　 ．8 (★★★) 在数列{an}中，已知an=an bn+1，且a2=65，a3=97．(1)求通项公式an；(2)求证：{an}是递增数列；(3)求证：1≤anan-1(n≥2)2 , 4 , 8 , … , 2n , …递减数列an