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    第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时方向角和坡角问题导学案(人教版九下)

    第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时方向角和坡角问题导学案(人教版九下)第1页
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    人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用第2课时复习练习题

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    这是一份人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用第2课时复习练习题,共5页。试卷主要包含了新课导入,分层学习,评价等内容,欢迎下载使用。
    一、新课导入
    1.课题导入
    情景:如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?
    问题:怎样由方向角确定三角形的内角?
    2.学习目标
    (1)能根据方向角画出相应的图形,会用解直角三角形的知识解决方位问题.
    (2)知道坡度与坡角的含义,能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.
    3.学习重、难点
    重点:会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.
    难点:将实际问题转化为数学问题(即数学建模).
    二、分层学习
    1.自学指导
    (1)自学内容:教材P76例5.
    (2)自学时间:10分钟.
    (3)自学方法:独立探索解题思路,然后同桌之间讨论,写出规范的解题过程.
    (4)自学参考提纲:
    ①如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果取整数,参考数据:cs25°≈0.91,sin25°≈0.42,tan25°≈0.47,sin34°≈0.56,cs34°≈0.83,tan34°≈0.67)
    a.根据已知在图中标出方向角:如图所示.
    b.根据方向角得到三角形的内角:在△PAB中,∵海轮沿正南方向航行,∴∠A= 65° ,∠B= 34° ,PA= 80 .
    c.作高构造直角三角形:如图所示.
    d.写出解答过程:
    在Rt△APC中,PC=PA·cs(90°-65°)=80×cs25°≈72.505(n mile).
    在Rt△BPC中,∠B=34°,PB=≈130(n mile).
    ②如图,海中有一个小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°的方向上,如果渔船不改变航向继续向东航行,有没有触礁的危险?
    解:过A作AE⊥BD于E.由题意知:∠ABE=30°,∠ADE=60°.
    ∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.
    ∴AE=AD·sin60°=12×= (海里)>8海里.
    ∴无触礁的危险.
    2.自学:
    结合自学指导进行自学.
    3.助学
    (1)师助生:
    ①明了学情:观察学生自学提纲的答题情况.
    ②差异指导:根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.
    (2)生助生:小组内互相交流、研讨.
    4.强化:利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.
    1.自学指导
    (1)自学内容:教材P77.
    (2)自学时间:5分钟.
    (3)自学方法:先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路,然后对照课本P77的内容归纳,进行反思总结.
    (4)自学参考提纲:
    ①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路:
    a.将实际问题抽象为数学问题;b.根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;
    c.得到数学问题的答案;d.得到实际问题的答案.
    ②练习:如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比,斜面坡度i=1∶3是指DE与CE的比,根据图中数据,求:
    a.坡角α和β的度数;
    b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).
    2.自学:
    学生可参考自学指导进行自学.
    3.助学
    (1)师助生:
    ①明了学情:明了学生解答问题的情况.
    ②差异指导:根据学情进行相应指导.
    (2)生助生:小组内互相交流、研讨.
    4.强化
    (1)坡度、坡角的含义及其关系,梯形问题的解题方法.
    (2)在自学参考提纲第②题中,若补充条件“坝顶宽AD=4 m”,你能求出坝底BC的长吗?
    (3)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路:
    三、评价
    1.学生自我评价:在这节课的学习中你有哪些收获?掌握了哪些解题技巧和方法?
    2.教师对学生的评价:
    (1)表现性评价:点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.
    (2)纸笔评价:课堂评价检测.
    3.教师的自我评价(教学反思).
    本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义,添作适当的辅助线,构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答,层层展开,步步深入.
    一、基础巩固(70分)
    1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方,学校在外婆家的北偏西40°,外婆家到学校与小明家到学校的距离相等,则学校在小明家的(D)
    A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°
    2.(10分)如图,某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树,要求相邻两棵树之间的水平距离为5 m,则这两棵树在坡面上的距离AB为m.(结果保留根号)
    3.(10分)在菱形ABCD中,AB=13,锐角B的正弦值sinB=,则这个菱形的面积为 65 .
    4.(20分)为方便行人横过马路,打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5,计算斜坡AB的长度(结果取整数).
    解:∵i=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.
    ∴AB=≈9(m).
    5.(20分)一轮船原在A处,它的北偏东45°方向上有一灯塔P,轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处,这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h,求轮船在B处时与灯塔的距离(结果可保留根号).
    解:过点A作AC⊥BP于点C.由题意知:∠BAC=30°,∠CAP=45°,
    AB=25×4=100.
    在Rt△ABC中,BC=AB=50,AC=AB=50.
    在Rt△ACP中,CP=AC=50.
    ∴BP=BC+CP=50(+1)(n mile).
    二、综合应用(20分)
    6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).
    解:如图所示,在Rt△BDE中,BE=5.00,∠DBE=30°,
    ∴DE=BE·tan30°=,BD=≈5.77(m).
    在Rt△ACF中,CF=BE=5.00,∠FCA=°,
    ∴AF=CF=5.00,∴AC=CF=5≈7.07(m).
    ∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=+3.40-5.00≈1.29(m).
    三、拓展延伸(10分)
    7.(10分)海中有一小岛P,在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁,一艘船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A,P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?
    解:如图,∠PAB=30°,AP=32.∴PB=AP=16(n mile).
    ∴PB<16n mile.∴轮船有触礁危险.
    假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过,此时航线AC与⊙P相切,即PC⊥AC.
    又∵AP=32,PC=16,∴∠PAC=45°,∴α=15°.
    ∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.

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