广东省梅州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份广东省梅州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“∈(0，+∞)，”的否定为（ ）
A．∈(0，+∞)，B．∈(0，+∞)，
C．∈(-∞，0]，D．∈(-∞，0]，
【答案】A
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
【详解】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“∈(0，+∞)，”的否定为“∈(0，+∞)，”，
故选．
【点睛】本题考查命题的否定，注意特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化能力，属于基础题．
2．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.
【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，
故选C.
【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题
3．若向量，且，则实数的值是（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】C
【分析】先求出的坐标，利用可得，代入坐标计算即可.
【详解】解：由已知，
由得：，
，
故选：C.
【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中是解题的关键，是基础题.
4．已知圆C的圆心是直线与直线的交点，直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】联立两个直线方程求出圆心，再求出圆心到直线的距离和半弦长，从而运用勾股定理求出半径即可得到结果.
【详解】根据题意：圆的圆心是直线与直线的交点，则，解得，因此圆心，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，因为弦长为，所以，所以圆的方程为.
故本题正确答案为A.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系常用以下处理方法：
（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（3）直线与圆相离时，当过圆心作直线的垂线时长度最小.
5．已知双曲线的焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】确定抛物线的焦点坐标，从而可得双曲线的几何量，由此可求双曲线的离心率．
【详解】抛物线的焦点坐标为
双曲线的焦点与抛物线的焦点相同，，
.
双曲线的离心率为．
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，参变分离求出函数的最小值代入，可得实数的取值范围．
【详解】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，在上单调递增，时，，
故选：D
【点睛】本题考查利用导数解决函数的单调性问题，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．
7．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ）
A．当时，有极小值B．当时，有极大值
C．当时，有极小值D．当时，有极大值
【答案】B
【分析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案.
【详解】小盒子的容积为，
所以，令得，或舍去，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时有极大值为144.
故选：B.
8．设函数是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，根据题设条件以及导数，得出函数的单调性，将变形为，即，结合单调性，即可得出解集.
【详解】令
所以函数在上单调递增
可变形为
即，解得
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性解不等式，属于中档题.
二、多选题
9．设，都是单调函数，其导函数分别为，，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则单调递增；
B．若，，则单调递增；
C．，，则单调递减；
D．若，，则单调递减；
【答案】BC
【分析】举出特例，排除选项AD，根据两个增函数的和为增函数，两个减函数的和为减函数判断BC.即可求解.
【详解】，函数为增函数，时，函数为减函数，同理时，函数为增函数，时，函数为减函数，
不妨取，，则满足，，
，显然是减函数，排除A选项；
取，，满足，，
则，故是增函数，排除选项D；
当，时，函数为增函数，为减函数，则为增函数，
所以为增函数，故B正确；
当，时，为减函数，为增函数，为减函数，
所以为减函数，故C正确.
故选：BC
10．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ）
A．设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线
B．设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆
C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．双曲线与椭圆有相同的焦点
【答案】CD
【分析】根据双曲线的定义可判断A选项的正误；根据直角三角形的几何性质可判断B选项的正误；求出方程的两根，结合椭圆和双曲线离心率的取值范围可判断C选项的正误；求出双曲线与椭圆的焦点坐标，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若动点的轨迹为双曲线，则，即，
但与的大小关系未知，A选项错误；
对于B选项，由可得，
可得，所以，点为线段的中点，
如下图所示：
当为圆的一条直径时，与重合；
当不是圆的直径时，由垂径定理可得，
设的中点为，由直角三角形的几何性质可得（定值），
所以，点的轨迹为圆，B选项错误；
对于C选项，解方程，可得，，
所以，方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；
对于D选项，双曲线的焦距为，焦点坐标为，
椭圆的焦距为，焦点坐标为，D选项正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
11．（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】A选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD选项根据B选项的结论进行变形来判断.
【详解】由题图可得，故A不正确；
，故B正确；
由得，即，
即，故C正确，D不正确．
故选：BC
【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题.
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值点；
B．函数有且只有1个零点；
C．存在正整数，使得恒成立；
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
【答案】ABD
【分析】利用导数求函数的极值可判断A选项；求出函数的单调性利用特殊值可判断B；转化为构造函数并求函数的单调性可判断C；利用已知得出，构造函数证明不等式可判断D.
【详解】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A正确；
对于B选项，，
∴，
∴ 函数在上单调递减，
又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，
上，，函数单调递减，
∴，
∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故C错误；
对于D选项，由，结合A选项可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，
所以有，
由于，所以，
即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法.
三、填空题
13．直线过坐标原点且与线相切，则的方程为___________.
【答案】
【分析】设切点为坐标为，由导数几何意义求出切线方程，由切线过原点得，从而得切线方程．
【详解】设切点为，由得，时，，又，
所以切线方程为，而切线过原点，
所以，解得．代入后得切线方程为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，在求函数图象的切线时要注意是求在某点处的切线不是求过某点的切线，如果求在点处的切线，则只要求得后可得切线方程，若是求过的切线方程，则设切点为，由切点求出切线方程，代入，求出后得切线方程．
14．已知过点的椭圆C的焦点分别为，，则椭圆C的标准方程是___________.
【答案】
【分析】先由椭圆定义求得，再求出后可得椭圆方程．
【详解】由题意，，所以,
所以椭圆方程为．
故答案为：．
15．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）
【答案】
【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案.
【详解】如图建立空间直角坐标系：
设抛物线为，由题知：抛物线过，.
所以，解得.
即抛物线方程为.
当时，.
所以桥洞顶部距水面高度约为米.
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.
16．如图，四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________.
【答案】.
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值．
【详解】解：四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，
，平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，， ，
∴， ，
设直线与直线所成角为，
则，
直线与直线所成角的余弦值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
四、解答题
17．已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为C．
（1）求中过，边上中点的直线方程；
（2）求边上高线所在的直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求的坐标，再求、的中点，最后求直线方程即可.
（2）先求直线的斜率，根据互相垂直的直线斜率之积互为负倒数即可求高的斜率，最后求高所在的直线方程.
【详解】解：（1）点关于轴的对称点，关于原点的对称点C
的中点，的中点，，
过中点的直线方程为；
（2）直线的斜率，边上高线所在直线的斜率为.
边上高线所在的直线方程为.
【点睛】考查中点坐标公式的应用以及互相垂直的直线方程的求法，基础题.
18．已知圆C：与直线相切.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C上有两点M，N关于直线对称，且，求n的值及直线MN的方程.
【答案】（1）；（2），.
【分析】（1）利用直线与圆相切，即，可求得参数m，即可求出圆的方程.
（2））由圆C上有两点M，N关于直线对称，可知该直线一定过圆心，可求出n的值，利用对称性可设直线MN的方程为，再利用，利用垂径定理，可求出圆心到直线MN的距离，从而求出得到直线MN的方程.
【详解】将圆C：化为圆的标准方程，
圆心坐标为，半径，
∵圆C：与直线相切，
∴圆心到直线的距离，解得m=4，
∴圆C的方程为C：.
（2）∵圆C上有两点M，N关于直线对称，
∴该直线过圆心，即，解得，
由题意知直线MN与直线垂直，可设直线MN的方程为.
∵，半径，
∴圆心到直线MN的距离为，即，解得，
∴直线MN的方程为.
【详睛】
本题考查直线与圆相切，考查了圆上两点关于直线对称问题，涉及点到直线的距离公式，圆的弦长公式，考查了学生的运算能力，属于中档题.
19．如图所示，某风景区在一个直径AB为的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)
（1）设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；
（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）在直角三角形中，，，可得的长．由于，可得弧的长；
（2）利用导数求最大值可得答案．
【详解】（1）如图，连结OC，BC，
在直角三角形ABC中，，（m），
所以（m），
由于，所以弧BC的长为（m），
所以（m），，
（2）由（1）得，
所以，，
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，有最大值，
所以当时，绿化带总长度最大.
【点睛】本题考查解实际问题的应用，关键正确理解题意，正确列出等量关系或函数关系式，考查了分析问题、解决问题的能力.
20．如图，正四棱锥的高为1，底边长为2.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）设底面ABCD的中心为O，连结OP，则底面ABCD，过点O作，，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，计算即可求证；
（2）由（1）知平面的一个法向量，平面的一个法向量，计算即可求解.
【详解】
（1）设底面ABCD的中心为O，连结OP，
是正四棱锥，所以底面ABCD，
过点O作，，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，
由已知可得，，，，
（1）证明：，
设平面的一个法向量为，
则所以，令，得，所以，
，，
设平面的一个法向量为，
则可得，令，得，所以，
因为，
所以，
所以平面平面.
（2）由（1）平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则解得，令，得，所以，
，
又因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
21．已知点，是抛物线C：上的两点，满足，是坐标原点.
（1）求证：；
（2）若于点D，求点D的轨迹方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）设出直线方程与抛物线方程联立，由转化为坐标形式再利用韦达定理表示可得答案；
（2）判断出直线AB过定点，由于点D，得到点D在以为直径的圆上可得答案.
【详解】（1）证明：由题意直线AB的斜率存在，可设方程为，，
由可得，
所以，是该方程的两根，所以，
且，，
，，
即，
可得，，
解得，此时成立，
.
（2）由（1）可得直线AB的方程为，
所以直线AB过定点，
又于点D，所以点D在以为直径的圆上，
可得点D的轨迹方程为.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理解决问题时注意判别式的范围，要熟练掌握基础知识及转化能力.
22．为圆周率，为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数：
（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为；（2）最大的数是，最小的数是；（3）从小到大排序为：，，，，，，证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，利用单调性可得答案；
（2）根据函数，，在定义域上单调递增，可得，，然后利用函数的单调性比较与的大小可得答案；
（3）由（2）知，，；又由（2）知，，得，
故只需比较与和与的大小，利用的单调性可得答案.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减，
故的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）因为，所以，，
即，，
于是根据函数，，在定义域上单调递增，
可得，，
故这6个数中最大数在与之中，最小数在与之中.
由及（1）的结论，得，即，
由，得，所以，
由，得，所以，
综上，6个数中最大的数是，最小的数是.
（3）由（2）知，，；又由（2）知，，得，
故只需比较与和与的大小，
由（1）知，当时，，即，
在上式中，令，又，则，
从而，即得① ，
由①得，，
即，所以，
又由①得，，即，
所以，
综上可得，，即个数从小到大排序为：
，，，，，.
【点睛】本题考查了函数的单调性及利用单调性比较大小的问题，关键点是利用函数的单调性和适当的进行放缩，考查了分析问题、解决问题及转化的能力.