江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】首先根据得到或，从而得到答案.
【详解】由，解得或，
则当时，有成立.
当时，不一定成立，例如时，满足，但不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
2．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子先后抛掷2次向上的点数，共有36种结果，满足条件的事件是点数之和是3的倍数但不是2的倍数，可以列举出结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，共有36种结果，
满足条件的事件是点数之和是3的倍数但不是2的倍数，有，，，，，共6种结果，
根据古典概型概率公式得到，
故选：C
3．若正整数，满足，则所有满足条件的的和为（ ）
A．6B．4C．3D．1
【答案】B
【分析】根据题中条件，先得到和的范围，确定或，分别解对应的分式不等式，求出对应的的取值，即可得出结果.
【详解】因为，都是正整数，
所以，，
所以，所以或，
若，则，所以，解得，
则；
若，则，所以，解得，
则，
所以.
故选：B.
4．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（ ）（，）
A．40B．41C．42D．43
【答案】C
【分析】设对折次时，纸的厚度为，则是以为首项，公比为的等比数列，
求出的通项，解不等式即可求解
【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，
由题意知是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
令，
即，所以，即，
解得：，
所以至少对折的次数是，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.
5．在矩形中，，，点，分别为直线，上的动点，交于点.若（），则点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，由，求得，，进而得出直线的方程，联立求得点，得出点的坐标满足的方程，即可求解.
【详解】分别以和所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，,
因为，（），
所以，，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立这两条件直线方程可得点，
，即点的坐标满足，
所以点的轨迹是以为对称中心，，分别为左右焦点的椭圆，
其中，，.
故选C.
6．在三棱锥中，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意结合平面几何的知识可得、、或其补角即为异面直线PC与AB所成角，再由余弦定理即可得解.
【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：
由可得，所以，
在，，可得
由中位线的性质可得且，且，
所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角，
在中，，
所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
7．如图，四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，以D为圆心，为半径在侧面上画弧，当半径的端点完整地划过时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先确定曲面面积占以点D为顶点，为母线在平面所形成的圆锥的侧面积的，利用圆锥的侧面积即可得出结论.
【详解】由题意，所以，所以，，
所以曲面面积占以点D为顶点，为母线在平面所形成的圆锥的侧面积的，所以圆锥的侧面积，
所以曲面面积为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D为顶点，为母线在平面所形成的圆锥的侧面积的是关键，考查系数的空间想象力.
8．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由点A、B关于原点对称，设，则，利用，得，再利用得到关系式，再用点C、B在双曲线上，三个式子联立求解得到，化简得到，即可求得双曲线的离心率.
【详解】由点A、B关于原点对称，设，则
，设，，
，，即
，
利用向量数量积公式得：，即①
又点C、B均在双曲线上，
②，③
由①②③可得：
两边同时除以可得：
两边同时平方得；，即
又双曲线的离心率，则，即
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中利用得到点C坐标，利用点C、B均在双曲线上，得到关系式，再利用得到关系式，三个式子联立得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
二、多选题
9．设，是两个相交平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线，则在平面内一定存在无数条直线与直线m垂直
B．若直线，则在平面内一定不存在与直线m平行的直线
C．若直线，则在平面内一定存在与直线m垂直的直线
D．若直线，则在平面内一定不存在与直线m平行的直线
【答案】AC
【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答.
【详解】对于A,若直线,则直线m垂直于平面内的所有直线,则在平面内,一定存在无数条直线与直线m垂直.故A正确;
对于B,若直线,如果，互相垂直,则在平面内,存在与直线m平行的直线.故B错误;
对于C,若直线,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线.故C正确;
对于D,若直线,则在平面内,存在与直线m平行的直线.故D错误.
故选:AC.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系;关键是熟练运用定理,全面考虑.
10．在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【分析】计算可得，故选项正确；，，所以数列是等比数列，故选项正确；，所以数列是公差为的等差数列，故选项错误.
【详解】为递增的等比数列，由得
解得或
∵为递增数列，
∴∴，，故选项正确；
∴，，
∴，，
∴数列是等比数列，故选项正确；
所以,则，故选项正确.
又，
∴数列是公差为的等差数列，故选项错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：
（1）定义法；
（2）通项公式法
（3）等差（等比）中项法
（4）等差（等比）的前项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
11．(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为( )
A．a=2，n=5B．a=1，n=6C．a=－1，n=5D．a=1，n=5
【答案】CD
【分析】每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成(1＋ax＋by)n的展开式中的每一项，利用组合知识得出所有系数的绝对值，结合二项式定理即可得解.
【详解】(1＋ax＋by)n的展开式可以看成n个(1＋ax＋by)，每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成的每一项，
(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，
即，即，
结合四个选项则a，n的值可能为：a=－1，n=5，或a=1，n=5
故选：CD
【点睛】此题考查二项式定理的应用，关键在于弄清多项式展开式的求法，结合组合知识和二项式定理求解.
12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（ ）
A．B．|k1﹣k2|＝2
C．AB过定点D．的最小值为8
【答案】AC
【分析】设，则y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线的方程两边求导，可得切线的斜率、切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．
【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为，设，
则，，由y2＝4x得，求导得，
所以，所以过A的切线的方程为x﹣x1＝，
化为x＝y① ，同理可得过B的切线方程为x＝y② ，
由①②解得x＝，由P的横坐标为，即，则，
k1k2＝，故A正确；
因为|k1﹣k2|＝＝不为定值，故B错误；
因为AB的直线方程为y﹣y1＝，即y＝y1+x，
整理得y＝，所以AB恒过定点，故C正确；
将转化为到准线的距离，即＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+＝5+≥5+2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号，所以的最小值为9，故D错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题关键是找到过A、B两点的切线斜率与方程得到，然后利用此结论表示各个选项可得出判断，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
三、填空题
13．A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只.
【答案】
【分析】根据方差公式与平均值公式即可求解.
【详解】设每天生产平均值为
依题意得
所以
又因为 ，
所以解得
故答案为：
14．设无穷数列{an}的前n项和为Sn，下列有三个条件：
①；
②Sn＝an+1+1，a1≠0；
③Sn＝2an+（p是与n无关的参数）．
从中选出两个条件，能使数列{an}为唯一确定的等比数列的条件是______．
【答案】①③
【分析】选①②，在①中令，在②中令联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前项和之间的关系求出公比，在①中令，在③中用表示出联立方程，求出确定数列；选②③，由通项与前项和之间的关系即可作出判断.
【详解】在①中，令，得；
在②中，，当时， ，两式相减，得，即 ；
在③中，，两式相减，得 ，即 ，
若选①②，则即 ， ，方程无解，故不能选①②作为条件；
若选①③，则由知，数列的公比为2，由 得 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列；
若选②③作为条件，则无法确定首项，数列不唯一，故不能选②③作为条件.
综上所述，能使数列为唯一确定的等比数列的条件是①③.
故答案为：①③
【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：
（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.
【答案】
【分析】取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可.
【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，
所以，
又，解得
所以截口所在椭圆的离心率为
故答案为：
【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：
（1）求的值，由直接求；
（2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．
四、双空题
16．已知x＞0，y＞0，x＋4y＋xy＝5，则xy的最大值为__________________；x＋4y的最小值为__________________．
【答案】1 4
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由x＞0，y＞0，
则，
即，
所以，所以，
当且仅当时，取等号， 即xy的最大值为1.
化为，解得，
当且仅当时，取等号，即x＋4y的最小值为4
故答案为： 1 ；4
【点睛】本题考查了用基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
五、解答题
17．在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.
【答案】（1）（2）（天）（3）
【分析】（1）求出调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，即得解；
（2）利用平均数公式计算即得解；（3）利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，
因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有人.
（2）（天）
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，
从六人中抽取两人包括15个基本事件：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6.
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A，则事件A包括8个，
所以.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式，考查平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．在①，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且______
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分）
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）选①或选②，由正弦定理化边为角后利用三角函数恒等变换求得角，选③用正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得角；
（2）用正弦定理把用角表示，由锐角三角形求出的范围，结合正切函数性质可得结论．
【详解】解：（1）若选①：，且，
所以，所以．
又，所以，所以，所以．
若选②：由正弦定理得，因为，
所以，即．
由，，所以，所以.
若选③：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）因为是锐角三角形，，
所以，且，得
由正弦定理得，
所以
因为，所以，所以，
所以，即得取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角函数的性质．在同时出现边角关系时常常利用正弦定理进行边角转化，化边为角或化角为边，需根据已知等式进行判断，目的是变形后易于求解．
19．已知数列的前项和是.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设的前项和是，求使得的最小正整数．
【答案】（1）；（2）1011.
【分析】（1）利用可得答案；
（2）求出利用裂项相消可得答案.
【详解】（1），
当时，，
符合上式，
所以．
（2），
∴，
令，解得，
所以最小正整数为1011.
【点睛】数列求和的方法技巧：
（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
20．如图甲，的直径，点，为上两点，且，，为的中点.沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图乙）.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】解法一：(1)利用线面平行的判定定理证明；
(2)二面角问题，可以根据定义，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理找到二面角的平面角，然后求得.
解法二：建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量证明（1）线面平行和求（2）中的二面角问题.
【详解】（1）如图，连接CO，
∵，∴，
又为的中点，∴，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．
（2）过O作OE⊥AD与E，连CE．
∵，平面ABC⊥平面ABD．
∴平面ABD．
又∵平面ABD，∴，
∴平面CEO，，
则是二面角的平面角．
∵，，∴．
由平面ABD，平面ABD，得为直角三角形，
∵，∴．∴.
解法二：证明：（1）∵，平面ABC⊥平面ABD，∴平面ABD．
如图，以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系，则，.
，
∵点为的中点，∴点的坐标为，．
∴，即．
∵平面ACD，平面ACD，
∴平面ACD．
（2）∵，∴点的坐标，．
设二面角的大小为，为平面ACD的一个法向量．
由 有 即
取，解得，．
∴.
取平面的一个法向量，
∴．
【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角问题，属中档题，证明线面平行时，要严格按照线面平行判定定理的条件说明，求二面角问题时，若使用几何方法，需要注意综合使用面面垂直，线面垂直的判定与性质定理进行证明和作图；
利用空间向量方法时要首先利用面面垂直、线面垂直的有关定理证明相关线段互相垂直，然后才能建立空间直角坐标系，证明线面平行时，也要注意说明直线不在平面内的条件，求二面角问题时要注意准确运算.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）当时，证明:
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）含参数的函数单调性，对和进行讨论；
（2）对时，先求出的最大值，构造关于a的函数，利用导数讨论.
【详解】解：(1）
，
，
当时，恒成立，
则在上单调递增
当时，令，则，
所以
令，则
所以
综上:当时，的增区间为;
当时，的增区间为，减区间为.
(2)由(1)知，当时，
令，
则，
令，则.
令，则.
故，
所以
又因为，
所以
则，
从而
即.
【点睛】(1)含参数的导数的讨论：① 判断是否有根，② 比较的几个根的大小；（2）证明不等式通常作差，构造新函数，用导数进行讨论.
22．如图已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，与轴分别交于.
（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）设直线与轴相交于点，记两点到直线的距离分别为；求当取最大值时的面积.
【答案】（1）证明见解析，；（2）4.
【分析】（1）设过点与抛物线相切的直线方程为：，与抛物线方程联立得，设是该方程的两根，由韦达定理表示及直线方程可得答案.
（2）求出，直线方程和，
由利用基本不等式得，再由可得答案.
【详解】（1）设过点与抛物线相切的直线方程为：，
由，得，
因为相切，所以，即得，
设是该方程的两根，由韦达定理得：，
分别表示切线斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点，
所以，
所以直线为：，得，
直线方程为：，
所以过定点.
（2）
由（1）知，
由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，
即：，所以，
分居直线两侧可得
，
所以
，
∴
∴当且仅当等号成立，
又由，令得：，
.
【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点和三角形面积的问题，本题的关键点是设直线方程的形式和求出的最小值，考查了学生的推理能力、计算能力，具有一定的难度.
潜伏期（单位：天）
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1