山西省晋城市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）

这是一份山西省晋城市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知点A(2，0)，B(3，－)，则直线的倾斜角为
A.30° B.45° C.120° D.135°
2.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。其中正确命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
3.双曲线C：的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上且|PF1|＝20，则|PF2|等于
A.12或28 B.14或26 C.16或24 D.17或23
4.已知直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y＝5互相平行，则m＝
A.4 B.－ C.4，－ D.－1，－
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A. B. C. D.
6.已知m∈R，则“m>3”是“方程表示双曲线”的
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs＝
A.－ B.－ C. D.
8.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是
A.[1－，1＋] B.(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
C.[2－2，2＋2] D.(－∞， 2－2]∪[2＋2，＋∞)
10.设F1，F2，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是
A.[，1) B.[，1) C.[，1) D.[，1)
11.已知函数，若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是
A.(－∞，－)∪(2，＋∞) B.(－∞，－)∪(0， 2)
C.(－∞，0)∪(0， 2) D.(－∞，0)∪(2，＋∞)
12.如图，在三棱锥A－BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB＝AC＝AD＝4，点P，Q分别在侧面ABC、棱AD上运动，PQ＝2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A－BCD分成上、下两部分的体积之比等于
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.命题“∀x∈R，2x2－x＋3>0”的否定是 。
14.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若∠BAC＝30°，BC＝AA1＝1，则该球的表面积等于 。
15.A(6，13)和B(12，11)是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为 。
16.如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线NE交双曲线右支于点P，若∠NMP＝，则e＝ 。
三、解答题(本大题共6题，共70分)
17.(10分)已知p：∀x∈[，]，2x>m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点。若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围。
18.(12分)数列{an}满足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝(3n－1)。
(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：an＝，求{bn}的前n项和Tn。
19.(12分)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。
已知bsinA＝asin(B＋)。
(1)求角B的大小；(2)求的取值范围。
20.(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，∠BAA1＝45°，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B。

(1)求证：AA1⊥BC；
(2)若BB1＝AB＝2，直线BC与平面ABB1A1所成角为45°，D为CC1的中点，求二面角B1－A1D－C1的余弦值。
21.(12分)已知在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1与y轴交于C，D两点，点P在第一象限且为圆O外一点，直线PC，PD分别交圆O于点A，B，交x轴于点Q，R。

(I)若直线BD的倾斜角为60°，|AC|＝1，求点P坐标；
(II)过P作圆O的两条切线分别交x轴于点M，N，试问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。
22.(12分)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－。记M的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G。
(i)证明：△PQG是直角三角形；(ii)求△PQG面积的最大值。
高平一中2020—2021学年上学期高二年级期末考试
数学试题（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A．30B．45C．120D．135
2. 给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
3. 双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线上且，则等于（ ）
A. 12或28 B. 14或26 C. 16或24 D. 17或23
4. 已知直线和互相平行，则( )
A. B. C. ， D. ，
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知向量a，b满足，，，则
A． B． C． D．
8. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
9. 设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
11.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
12. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，点，分别在侧面、棱上运动，，为线段中点，当，运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于( )
A. B.
C. D.
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“”的否定是________.
14. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则该球的表面积等于__________．
15．和是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为__________．
16.如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________．
三、解答题（本大题共6题，共70分）
17．（10分） 已知p：，2x>m(x2+1)，q：函数f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.
18. （12分）数列
（1）求的通项公式；
（2）若数列
（12分）在锐角中，内角所对的边分别为.
已知.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
20.（12分）如图，三棱柱中，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.
21.（12分）已知在平面直角坐标系中，圆与轴交于，两点，点 在第一象限且为圆外一点，直线，分别交圆于点，，交轴于点，．
（Ⅰ）若直线的倾斜角为60°，，求点坐标；
（Ⅱ）过作圆的两条切线分别交轴于点，，试问是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由．
22.（12分）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
2020—2021学年上学期高二年级期末考试
数学试题（理科）答案
选择题
1-6 CCBBAB 7-12 DCDDDA
二、填空题
13. 14.5
16.
三、解答题
17.解：由题意得：，2x>m(x2+1)，即在上恒成立，
因为在为单调递减函数，
所以当x=时，，
所以，
所以若命题p为真命题，则，………………3分
设t=2x，则t∈(0，+∞)，则函数f(x)化为g(t)=t2+2t+m-1，
由题意知g(t)在(0，+∞)上存在零点，令g(t)=0，得m=-(t+1)2+2，
又t>0，所以若命题q为真，则m<1.………………6分
又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以命题p，q一真一假，
即p真q假，或p假q真，
所以或，解得≤m<1，………………9分
故所求实数m的取值范围是.………………10分
18.解：（1），①
当时，，②
①－②得，，
当时，，符合上式.
所以.…………………………6分
（2）因为，所以，
即，，
，①
，②…………………8分
①－②得，
，…………………11分
所以.……………………12分
19..解：（1）∵，
∴sinBsinA＝sinA（sinB+csB），sinA≠0．…………………2分
化为：sinB﹣csB＝0，
∴tanB＝，…………………4分
因为，
所以B＝．…………………6分-wqpyy
（2）由（1）可得：A+C＝π﹣B＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＝﹣A＜，0＜A＜，∴＜A＜，……………………8分
∴＝＝＝
＝+∈，………………11分
∴的取值范围是．………………12分
20.（1）证明：过点作，垂足为，
因为平面平面，zxy966
所以平面，故，…………2分
又因为，，，
所以，故，
因为，所以，…………4分
又因为，所以平面，故.……………………6分
（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为平面，
所以是直线与平面所成角，故，
所以，，………………7分
，，，，，，
设平面的法向量为，则
，所以，令，得，………………9分
因为平面，所以为平面的一条法向量，，………10分
，所以二面角的余弦值为.………………12分
21.解（Ⅰ）由题可知，直线的倾斜角为60°，
则直线的方程为，
，故为正三角形，
则直线的倾斜角为，故直线方程为，
为直线BD和直线AC交点，联立方程，解得，
；………………6分
（Ⅱ）设，切线与轴交点为，
则切线方程为，即，
又O到切线的距离为1，则，
整理得，
则是方程的两根，，
由P，C，Q共线得，解得，同理可得，
，
，
，即.………………12分
22.解（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． ………………3分
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．
由得．
记，则．
于是直线的斜率为，方程为．
由得
．①
设，则和是方程①的解，故，由此得．
从而直线的斜率为．
所以，即是直角三角形．………………7分
（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．
设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．
因此，△PQG面积的最大值为．………………12分