山西省忻州市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试卷

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这是一份山西省忻州市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试卷，共6页。

【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．圆与圆的位置关系为
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为
A．9 B．7 C．5 D．3
3．双曲线的渐近线方程是
A．B． C． D．
4．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为
A． B． C． D．
5．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为，则直线l的斜率为
A． B．－ C．－ D．
6．椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则的面积为
A． B． C． D．
7．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
A． B． C．或 D．或
8．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为
A．B．C．D．
9．已知点，，，则外接圆的方程是
A． B．
C． D．
10．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则的值为
A． B． C． D．
11．直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为
A． B． C． D．
12．设分别为双曲线的左、右焦点．若为右支上的一点，且为线段的中点,，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的右焦点到其渐近线的距离为________
14．抛物线的准线方程为________
15．椭圆的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是________
16．若椭圆和双曲线具有相同的焦点，离心率分别为，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为________
三、解答题:本大题共70分
17．（本题满分10分）
曲线的方程为：．
(1) 当为何值时，曲线表示双曲线？
(2) 当为何值时，曲线表示焦点在轴上的椭圆？
18．（本题满分12分）
求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别是，，并且经过点；
(2)．
19．（本题满分12分）
已知直线与直线交于点．
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)在(1)的条件下，若直线与圆交于两点，求直线被圆截得的弦长．
20．（本题满分12分）
在圆上任取一点，过做轴的垂线段，为垂足．
(1)当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程；
(2)直线与的轨迹交于两点，，求的面积．
21．（本题满分12分）
已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线交抛物线于两点，，设斜率为，斜率为，判断是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
22．（本题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且短半轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知以椭圆右顶点为直角顶点的动直角三角形斜边端点落在椭圆上．
①求证：直线过定点；
②求面积的最大值．
数学答案（文科）
1---5 BADCB 6---10 ACCBD 11---12 DC
13 14 15 16
17．解：(1) 由题得或，所以当或时，曲线表示双曲线．
(2)．根据题意可得，解得：，所以当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆．
18．(1) （2）或
19．解：(1)由题意，得，解得，∴.由题所求直线斜率为，所以所求直线为，化简得，
∴直线的方程为.
(2)由题意可知，圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，∴，∴
20．解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，则因为点在圆上，所以上，把代入，得，即，即为的轨迹方程；
（2）联立，化简得，设，则
，，点到直线的距离为，所以．
21．解：（1）由题，即，所以抛物线的方程为.
（2）是定值为0，证明如下：
设，直线的方程为，由，得，所以，，因为，，所以
，得证．
22．解：(1)由题可知,
，解得，所以椭圆的方程为．
(2) ①由题知斜边不可能和轴平行，所以设所在直线方程为，
与方程联立消去整理得，设，
则有，由题可知
，即
，
化简得，所以（舍）或，可得所在直线的方程为，所以直线恒过定点；
②由①可得，令，，，函数在上单调递增，所以，，
所以面积的最大值为，此时所在直线方程为．