山西省阳泉市2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理科）试题

这是一份山西省阳泉市2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理科）试题，共7页。试卷主要包含了命题p，写出命题“若且，则”的逆否命题， 18．③④等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1.命题p：x∈R，x2＋1>3x，则p是
A.x∈R，x2＋1≤3x B.x∈R，x2＋1≥3x
C.x∈R，x2＋1≤3x D.x∈R，x2＋1≥3x
2．对于空间向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
3． “”是“”的( )条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线C．线段D．圆
5．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么，这条斜线与平面所成的角是（ ）
A．B．C． D．
6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为
.或 .或
.或 .或
7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有，则的值是( )
A．1 B．0 C．3 D．
8. 已知双曲线，两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A. 或 B. C. D.
9．已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为
A．B．C．D．
10．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.
12．设，，是空间的标准正交基，，，则与的关系是 ．
13.写出命题“若且，则”的逆否命题：________．
14.已知，，若，则实数的值为________．
15．已知双曲线的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为______．
16．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.
17．已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
18．已知下列几个命题：
①的两个顶点为，，周长为18，则C点轨迹方程为；
②“”是“”的必要不充分条件；
③已知命题，，则为真，为假，为假；
④双曲线的离心率为．
其中正确的命题的序号为_____．(选全得5分，选不全得2分，有错选得0分)
三、解答题（本大题共7个小题，共52分．）
19.（满分8分）已知a,b,c是△ABC的三条边，证明：△ABC是等边三角形的充要条件是．
20.（满分8分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）若直线y=x-4与轨迹C相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．
21.（满分8分）如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．
（1）用，，表示；
（2）求的长．
22．（本小题满分10分）
已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程.
23.（满分12分）如图，四边形正方形，平面，，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
高二理科数学参考答案和评分标准
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11． 12．垂直 13．若，则或 14.2
15． 16． 17.（﹣∞，） 18．③④
三、解答题（本大题共7个小题，共52分．）
19．
20.（1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，
由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，
设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2．
∴轨迹C的方程为y2＝4x．
（2）证明：设l1的方程为y＝x﹣4，代入抛物线方程，整理可得x2﹣12x+16＝0，
设，，则x1+x2＝12，x1x2＝16.
∵y1y2＝(x1﹣4)(x2-4)=-16
∴x1x2 + y1y2=0,
∴OA⊥OB.
21．（1）根据向量的三角形法则得到．
（2）∵
，
∴，即的长为．
22．（1）由题意可知，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，由题意得
两式相减，得，
即，
所以直线的斜率.
因为点是线段的中点，
所以，，所以.
所以直线的方程为，即．
23.（1）证明：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，
射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
依题意有，
则，
所以，即，
故平面.
又平面，
所以平面平面.………………………………………………………………6分
（2）解：由（1）有，
设是平面的法向量，
则即，取，则，.
设平面的法向量为，
则即，取，则，，
所以，
故平面和平面所成锐二面角的余弦值为..……………………………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
C
A
D
A
D
B