陕西省宝鸡市2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

这是一份陕西省宝鸡市2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦点坐标为可得答案.
【详解】解：根据抛物线定义可得：抛物线的焦点坐标为
故选：C.
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得函数的导数，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
又由，则，即切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：A.
3．过点且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】分直线过原点时和直线不过原点，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】当直线过原点时，此时过点的直线方程为，即，此时符合题意；
当直线不过原点时，因为两坐标轴上的截距和为，可设直线方程为，
将点代入直线方程，可得，解得，即.
综上可得：所求直线方程为或.
故选：D.
4．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线的离心率为，结合离心率的定义，求得，即可求得渐近线的方程.
【详解】由题意，双曲线的离心率为，
可得，即，解得，
即双曲线的渐近线的方程为.
故选：B.
5．若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可.
【详解】由当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除，
且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除B.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.
6．下列说法：
①若线性回归方程为，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；
③线性回归直线方程必过点；
④抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样，
其中错误的说法是（ ）
A．①③B．②③④C．①②④D．①④
【答案】D
【分析】根据线性回归方程与方差的求法，随机抽样的知识，对选项中的命题判断正误即可．
【详解】对于①，回归方程中，变量x增加1个单位时，y平均增加3个单位，不是一定增加，所以①错误；
对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以②正确；
对于③，线性回归方程必经过样本中心点，所以③正确；
对于④，抽签法和随机数表法属于简单随机抽样，所以④错误.
故选：D
7．两圆（x-1）2+y2=2与x2+（y-2）2=4的公共弦所在直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把两个圆化为一般式，根据性质，两个圆方程相减即可得到公共弦所在的直线方程．
【详解】将两个圆的标准方程分别化为一般式为
，
两式相减得
所以选A
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及相交弦所在直线方程的求法，属于基础题．
8．如图所示是计算的值的程序框图，则图中空白的判断框与执行框内应填入的内容分别是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是程序框图， 由已知得本程序的作用是计算，由于第一次执行循环时的循环变量初值为 2 ，步长为 1 ，最后一次执行循环进循环变量值为 2018 ，我们根据利用循环结构进行累加的方法， 不难给出结论 ．
【详解】当矩形框中填时
+
，无论循环多少次都没有数字1在最前面．
故A,C错误．
当判断框中填
则最后运算结果为：+，故D错误，
故选B
【点睛】算法是新课程中的新增加的内容， 也必然是新高考中的一个热点， 应高度重视 ．根据流程图运算，直接判断结论即可．
9．已知定义在R上的函数的导数为，则“”是“函数 在单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据求出在上单调递增的条件后再判断．
【详解】由已知，当，即时或，时，，在单调递增，时，在上恒成立，递增，
当时，时，，递减，在上不单调递增，
所以若，则函数 在单调递增，但函数 在单调递增时，不一定成立．
因此是在单调递增的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数与单调性的关系，考查充分必要条件的判断．一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解．
10．设，是椭圆的左、右焦点，过点且斜率为的直线l与直线相交于点P，若为等腰三角形，则椭圆E的离心率e的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立方程组求得，根据为等腰三角形，得到即，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，椭圆的右焦点为，可得直线的方程为，
联立方程组，解得，
则，
因为为等腰三角形，可得，可得，即，
则，所以椭圆的离心率为.
故选：D.
11．若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得，令，求的取值范围可得答案.
【详解】由，则，
令，
则，
当得，单调递增，当得，单调递减，
所以，，
当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，
所以函数存在零点，则.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．
二、多选题
12．下列命题为真命题的是（ ）
A．命题“若，则”的逆命题
B．命题“若，则”的逆否命题
C．空间中垂直于同一直线的两直线平行
D．命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题
【答案】ABD
【分析】根据原命题写出对应的逆、否命题判断真假，利用逆否命题与原命题的关系判断真假，以及由原命题的描述结合线线垂直性质、平行判定判断真假.
【详解】A：逆命题为“若，则”是真命题；
B：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题；
C：空间中垂直于同一直线的两直线可能平行、异面、相交，为假命题；
D：否命题为“到线段两端点距离不相等的点不在线段的垂直平分线上”是真命题.
故选：ABD
三、填空题
13．函数在区间上的平均变化率为_________.
【答案】
【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可.
【详解】函数在区间上的平均变化率为：.
故答案为：
14．直线被抛物线截得的弦长为_________．
【答案】.
【分析】根据直线与圆锥曲线的弦长公式，即可求解.
【详解】联立方程组，整理得，可得，
设直线与抛物线的交点为，
由弦长公式，可得，
即截得的弦长为.
故答案为：.
15．已知双曲线的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C和双曲线C的一条渐近线分别相交于P，Q两点（P，Q在同一象限内），若P为线段QF的中点，且，则双曲线C的标准方程为_________．
【答案】
【分析】根据题意，结合双曲线性质，可知，，结合，整理求得结果.
【详解】根据题意，可知，
因为P为线段QF的中点，所以，
又因为，联立，解得，
所以双曲线C的标准方程为：.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问题，解题思路如下：
（1）根据题意，明确量之间的关系；
（2）利用题中条件，建立关于之间的关系，结合，求得的值，得到结果.
16．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取了15天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________．（该年为366天）
【答案】
【分析】利用茎叶图性质和等可能事件概率计算公式能求出该样本中空气质量优或良的频率，从而能估计该年空气质量优或良的天数．
【详解】从茎叶图中可发现该样本中空气质量优或良为10天
故该样本中空气质量优或良的频率为，
从而估计该年气质量优或良的天数为天
【点睛】本题考查茎叶图的应用，用频率去估计概率，从而解决问题，属基础题，
四、解答题
17．已知命题“曲线表示焦点在y轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”．
（1）请判断p是否是q的必要不充分条件，并说明理由；
（2）若命题“p且q”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）p不是q的必要不充分条件，理由见解析；（2）或.
【分析】（1）分别求出p命题中的取值范围和命题中取值范围，根据集合的包含关系可进行判断；
（2）若命题“p且q”是真命题，则p、q都是真命题，求出命题中的公共部分可得答案.
【详解】（1）命题“曲线表示焦点在y轴上的椭圆”，
则，解得或，命题或，
命题“曲线表示双曲线”，
则，解得，命题，
因为或，或，
所以p不是q的必要不充分条件.
（2）若命题“p且q”是真命题，则p、q都是真命题，
命题或，命题，
所以或或，
实数m的取值范围为或.
【点睛】本题考查逻辑问题，涉及到的知识点有根据复合命题的真假判断求参数的范围，必要不充分条件判断，解题的关键点是求出命题p、q中m取值范围；
必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含.
18．已知曲线在点处的切线斜率为3，且时有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的极值和最小值．
【答案】（1）；（2）极大值为，无极小值；最小值为.
【分析】（1）求出导数，根据题意有，解出代入解析式即可；
（2）根据导数求出函数的单调区间，判定函数在区间上的单调性，根据极值定义求出函数的极值，比较端点函数值即可解出最小值.
【详解】解：（1）函数求导得
因为函数在点处的切线斜率为3，且时有极值
所以解得
所以函数的解析式为
（2）由（1）可知
所以当或时，单调递增;
当时，，单调递减，
则函数在上有极大值为，无极小值
又因为 所以
则函数在上的最小值为.
【点睛】求函数的极值或极值点的步骤：
（1）求导数，不要忘记函数的定义域；
（2）求方程的根；
（3）检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点或函数的极值.
19．一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；
（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为和，求的概率．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1） 从袋中随机取两个球， 利用列举法求出所有的基本事件个数， 再用列举法求出取出的编号之和为6 包含的基本事件有个数， 由此能求出取出的球的编号之和为6概率 ．
（2） 基本事件总数，再用列举法求出包含的基本事件的个数， 由此能求出的概率 ．
【详解】解：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，
取出球的编号之和为6的有，，共2种取法，
故所求概率.
（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，
两次取的球的编号之和大于5的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共26种取法，
故所求概率.
【点睛】本题考查古典概型概率的求法， 是基础题， 解题时要认真审题， 注意列举法的合理运用 ．
20．已知动点到点（为常数且）的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．
（1）求动点的轨迹的方程，并求t的值；
（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方程．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据抛物线定义得代点得，代值化简即得轨迹的方程；
（2）设，用点差法及点是线段的中点可得，代入直线点斜式化简即可.
【详解】解（1）由抛物线定义可得点是以为焦点，直线为准线的抛物线，
则轨迹，
代点得，所以轨迹的方程为
（2）设则
相减得
所以，
因为点是线段的中点，
所以，即
所以直线的方程为，即.
【点睛】用“点差法”求解弦中点问题的步骤：
（1）设点：设出弦的两端点坐标；
（2）代入：代入圆锥曲线的方程；
（3）作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；
（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.
21．已知的长轴长为4，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点），过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的横坐标为定值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据椭圆的长轴长为4，短轴长为2，得到，写出椭圆方程.
（2）设点，易知，由OH垂直于直线PB，得到，，两方程联立求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，短轴长为2，
所以，
所以椭圆C的标准方程是；
（2）设点，因为A，B分别为椭圆C的左、右顶点，
所以，
则，
因为直线OH垂直直线PB，
所以，则，
又，
则，
解得，
因为，则，
解得，
所以直线OH与直线AP的交点M的横坐标为定值．
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的解得增区间，同时可由得减区间；
（2）由（1）得的最小值为，解不等式可得．
【详解】（1）函数定义域为，
由题意，
当时，在时，恒成立，在上单调递增，
当时，的解为，的解为，
在上递增，在上递减．
（2）由（1）知时，在上递增，在上递减．
所以，恒成立，则，
即，由于时，，不等式不成立，所以，解得．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．一般地恒成立等价于，恒成立，等价于，然后解不等式可得参数范围．或者用分离参数法转化为（其中不参数），则，若，则．